Если подкоренное число делится на точный квадрат, этот квадрат вынимают наружу: из-под корня он выходит уже без корня. $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$. Искать нужно наибольший квадрат-делитель — тогда вынос будет полным и корень дальше не упростится.
Правило не придумано отдельно — оно вытекает из свойства корня из произведения. Корень из произведения равен произведению корней:
Возьмём $\sqrt{50}$. Число $50$ раскладывается как $25\cdot 2$, а $25$ — точный квадрат. Разбиваем корень на два и один из них извлекаем:
Вот и весь фокус: наружу выходит корень из квадрата, то есть само основание. Запись $5\sqrt{2}$ означает «пять умножить на корень из двух» — знак умножения не пишут.
Зачем это нужно. Во-первых, только после выноса становится видно, какие корни подобны и, значит, складываются: $\sqrt{18}+\sqrt{8}$ на вид не складывается, а $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ — складывается. Во-вторых, ответ в такой форме считается стандартным: в ОГЭ и в учебнике пишут $5\sqrt{2}$, а не $\sqrt{50}$.
Порядок действий один и тот же для любого числа:
Эти числа нужно узнавать мгновенно: именно они прячутся под корнем.
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 400 |
Разложите число на простые множители и соберите пары. $\sqrt{700}$: $700 = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 7$. Пара двоек даёт $2$, пара пятёрок — $5$, семёрка остаётся одна. Значит $\sqrt{700}=2\cdot 5\sqrt{7}=10\sqrt{7}$.
Числа идут по возрастанию — видно, как растёт вынесенный множитель, а под корнем остаётся всё те же 2, 3 и 5.
| Пример | Раскладываем | Ответ | Почему так |
|---|---|---|---|
| $\sqrt{12}$ | $\sqrt{4\cdot 3}$ | $2\sqrt{3}$ | наибольший квадрат в 12 — это 4 |
| $\sqrt{18}$ | $\sqrt{9\cdot 2}$ | $3\sqrt{2}$ | 18 делится на 9 |
| $\sqrt{20}$ | $\sqrt{4\cdot 5}$ | $2\sqrt{5}$ | на 9 и 16 не делится |
| $\sqrt{32}$ | $\sqrt{16\cdot 2}$ | $4\sqrt{2}$ | делится и на 4, но 16 больше |
| $\sqrt{45}$ | $\sqrt{9\cdot 5}$ | $3\sqrt{5}$ | 45 = 9 · 5 |
| $\sqrt{48}$ | $\sqrt{16\cdot 3}$ | $4\sqrt{3}$ | 4 подошло бы, но 16 полнее |
| $\sqrt{50}$ | $\sqrt{25\cdot 2}$ | $5\sqrt{2}$ | 25 — квадрат пятёрки |
| $\sqrt{72}$ | $\sqrt{36\cdot 2}$ | $6\sqrt{2}$ | 36 — самый большой квадрат в 72 |
| $\sqrt{75}$ | $\sqrt{25\cdot 3}$ | $5\sqrt{3}$ | 75 = 25 · 3 |
| $\sqrt{98}$ | $\sqrt{49\cdot 2}$ | $7\sqrt{2}$ | 49 — квадрат семёрки |
| $\sqrt{108}$ | $\sqrt{36\cdot 3}$ | $6\sqrt{3}$ | 108 = 36 · 3 |
| $\sqrt{128}$ | $\sqrt{64\cdot 2}$ | $8\sqrt{2}$ | 64 — квадрат восьмёрки |
| $\sqrt{147}$ | $\sqrt{49\cdot 3}$ | $7\sqrt{3}$ | 147 = 49 · 3 |
| $\sqrt{180}$ | $\sqrt{36\cdot 5}$ | $6\sqrt{5}$ | подошли бы 4 и 9, но 36 = 4 · 9 |
| $\sqrt{200}$ | $\sqrt{100\cdot 2}$ | $10\sqrt{2}$ | круглые числа удобно делить на 100 |
| $\sqrt{288}$ | $\sqrt{144\cdot 2}$ | $12\sqrt{2}$ | 144 = 12² |
| $\sqrt{300}$ | $\sqrt{100\cdot 3}$ | $10\sqrt{3}$ | 300 = 100 · 3 |
Проверяем квадраты сверху вниз. На $100$ число $180$ не делится нацело. На $81$ — нет. На $64$ — нет. На $49$ — нет. На $36$ — да: $180 : 36 = 5$. Значит $\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$. Проверяем остаток: $5$ ни на один квадрат не делится — вынос полный.
$\sqrt{180}=\sqrt{4\cdot 45}=2\sqrt{45}$. Ошибки нет, но работа не закончена: под корнем осталось $45=9\cdot 5$. Выносим ещё раз: $2\sqrt{45}=2\cdot 3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$. Ответ тот же, шагов больше.
Самое трудное в теме — не правило, а поиск множителя. Здесь тренируется именно это: под корнем число, а внизу квадраты. Выберите тот, на который число делится и который самый большой из подходящих.
С буквами всё так же, только квадратом становится чётная степень: $x^2$, $a^4$, $9y^2$. Из-под корня выходит половина показателя.
$\sqrt{9x^2}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{x^2}=3|x|$. Если по условию $x\ge 0$, модуль не нужен: $3x$.
$\sqrt{50a^2}=\sqrt{25\cdot 2\cdot a^2}=5|a|\sqrt{2}$.
$\sqrt{x^3}=\sqrt{x^2\cdot x}=x\sqrt{x}$. Модуль здесь не нужен: выражение имеет смысл только при $x\ge 0$, иначе под корнем окажется отрицательное число.
$\sqrt{20a^2b}=\sqrt{4\cdot 5\cdot a^2\cdot b}=2|a|\sqrt{5b}$ (при $b\ge 0$).
Ту же формулу читают справа налево. Тогда число заходит под корень — но обязательно в квадрате:
$3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$. Тройка вошла под корень как $3^2=9$.
Внесение нужно, когда корни сравнивают: под одним корнем числа сравнивать легко, а «на глаз» $3\sqrt{5}$ и $5\sqrt{2}$ не сравнить.
Числа каждый раз новые. Запишите ответ в виде $k\sqrt{m}$: в первое поле — то, что вышло наружу, во второе — то, что осталось под корнем.
Пять вопросов на то, что чаще всего путают. Ответы проверяются здесь же.
Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.