Числитель и знаменатель умножают на тот же корень — и знаменатель становится
обычным числом, потому что $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$. Если в знаменателе стоит
сумма или разность с корнем, домножают на сопряжённое выражение —
то же самое, но с противоположным знаком.
Дробь $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ не ошибочна — она просто записана
в нестандартном виде. Приводить её к $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ принято по двум причинам.
Так удобнее считать. Разделить $1{,}41$ на $2$ можно в уме, а вот
разделить $1$ на $1{,}41$ — уже нет. До калькуляторов это и решало дело.
Так проще сравнивать и складывать. Дроби с одинаковыми знаменателями
складываются сразу, а $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ и $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ на вид
вообще разные — пока не приведёшь.
Оба выражения равны: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707$ и
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1{,}414}{2}\approx 0{,}707$. Мы меняем запись, а не число.
Работает всё на одном свойстве: корень, умноженный сам на себя,
перестаёт быть корнем.
$\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$. После домножения дробь
сократилась, и корень остался один — это нормальный ответ.
Если под корнем не простое число
$\dfrac{4}{\sqrt{8}}$. Сначала выносим множитель: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, тогда
$\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.
Вынести множитель до домножения почти всегда короче.
Проверить себя легко: в готовом ответе корень стоит только
в числителе, а знаменатель — целое число.
Раздел 3
Когда в знаменателе сумма или разность
Если внизу стоит $\sqrt{7}-\sqrt{3}$, домножение на $\sqrt{7}-\sqrt{3}$
не поможет: получится квадрат разности, и корни останутся. Нужно сопряжённое
выражение — то же самое, но с противоположным знаком посередине. Тогда сработает
формула разности квадратов:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$
Оба корня пропадают одновременно — ради этого всё и делается.
Для $\sqrt{5}+2$ сопряжённое $\sqrt{5}-2$. Для $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ сопряжённое
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Меняется только знак между слагаемыми, сами слагаемые те же.
Знаменатель $a-b$ может оказаться отрицательным:
$\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ даёт внизу $2-5=-3$. Это не ошибка — минус
просто переносят в числитель: $\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{-3}=-\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$.
Раздел 4
Разобранные примеры
Дробь
На что домножаем
Ответ
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\dfrac{5}{\sqrt{5}}$
$\sqrt{5}$
$\sqrt{5}$
$\dfrac{6}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{3}$
$2\sqrt{3}$
$\dfrac{3}{2\sqrt{5}}$
$\sqrt{5}$
$\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
$\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}$
$3+\sqrt{2}$
$\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}$
$\dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$
$\sqrt{7}+\sqrt{3}$
$\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$
$\sqrt{5}-2$
$\sqrt{5}-2$
Разбор последней строки
$\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}
=\dfrac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{1}=\sqrt{5}-2$.
Знаменатель обратился в единицу — такое бывает и выглядит эффектно.
Корень остаётся в числителе
$\dfrac{3}{2\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$.
Домножать нужно только на $\sqrt{5}$: двойка внизу корнем не является
и мешать не будет.
Раздел 5
Тренажёр
Дробь вида $\dfrac{b}{\sqrt{a}}$. Приведите её к виду
$\dfrac{k\sqrt{m}}{n}$ и запишите три числа: коэффициент числителя,
число под корнем и знаменатель. Дробь должна быть сокращена;
если знаменатель получился равен $1$, так и напишите.
…
√ /
Раздел 6
Частые ошибки
Домножают только знаменатель.
$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$ — неверно: дробь изменилась.
Умножать надо и числитель: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Домножают сумму саму на себя.
$\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}$ умножают на $3-\sqrt{2}$ — корень не исчезает.
Нужно сопряжённое: $3+\sqrt{2}$.
Забывают скобки в числителе.
$\dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}$ — неверно.
На сопряжённое умножается весь числитель: $\dfrac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}$.
Не сокращают в конце. $\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}$ —
это ещё не ответ, дробь сокращается до $2\sqrt{3}$.
Домножают на весь знаменатель, включая целый множитель.
В $\dfrac{3}{2\sqrt{5}}$ достаточно $\sqrt{5}$; домножение на $2\sqrt{5}$
даст верный, но лишний раз усложнённый ответ.
Раздел 7
Задачи для самостоятельного решения
Избавьтесь от иррациональности: $\dfrac{1}{\sqrt{7}}$.
Избавьтесь от иррациональности: $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$.
Избавьтесь от иррациональности: $\dfrac{2}{3\sqrt{2}}$.
Избавьтесь от иррациональности: $\dfrac{9}{\sqrt{27}}$.
Избавьтесь от иррациональности: $\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$.
Избавьтесь от иррациональности: $\dfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$.
Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.