Квадрат стирает знак, а корень его не возвращает: он всегда даёт
неотрицательное число. Поэтому $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$, а не $-5$.
Записать $\sqrt{a^2}=a$ можно только тогда, когда известно, что $a\ge 0$.
Проследим за числом $-5$ по шагам. Сначала возводим в квадрат:
$(-5)^2 = 25$
Минус пропал — квадрат любого числа неотрицателен. Теперь извлекаем корень.
Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому:
$\sqrt{25}=5$
Начали с $-5$, закончили $5$. Информация о знаке потерялась на первом шаге,
и корень её не восстанавливает — он про это ничего не знает. То же самое с $+5$:
$5^2=25$ и $\sqrt{25}=5$.
Оба пути
$-5 \;\to\; 25 \;\to\; 5$ и $5 \;\to\; 25 \;\to\; 5$. Из двух чисел получилось одно.
Ровно это и означает модуль: $|-5|=5$ и $|5|=5$.
Короткая формулировка: возведение в квадрат «забывает» знак,
а корень выдаёт только неотрицательный ответ. Значит, на выходе — модуль.
Раздел 2
На числовой прямой
Модуль — это расстояние от числа до нуля. Расстояние не бывает
отрицательным, и оно одинаково для числа и для его противоположного:
Выражение $\sqrt{a^2}$ и означает это расстояние. Куда бы точка ни попала —
влево или вправо от нуля, — корень из квадрата вернёт расстояние, то есть число
без знака.
Отсюда же и второй способ читать модуль: $|a|=a$, если $a\ge 0$,
и $|a|=-a$, если $a<0$. Во втором случае минус на минус даёт плюс —
результат всё равно положительный.
Раздел 3
Чем это отличается от $\left(\sqrt{a}\right)^2$
Две похожие записи, но порядок действий разный — и ответы разные.
Запись
Что сначала
Результат
Ограничения
$\sqrt{a^2}$
сначала квадрат, потом корень
$|a|$
любое $a$ — под корнем всё равно неотрицательное
$\left(\sqrt{a}\right)^2$
сначала корень, потом квадрат
$a$
только $a\ge 0$ — иначе корня не существует
На числах
$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$, а $\left(\sqrt{-4}\right)^2$ вообще не существует:
под корнем отрицательное число.
Модуль нужен только в первой записи. Во второй он не нужен —
там отрицательного $a$ просто не бывает.
Раздел 4
Когда модуль можно снять
Модуль пишут не всегда — если про знак известно заранее, его раскрывают.
Если $a\ge 0$, то $\sqrt{a^2}=a$.
Если $a<0$, то $\sqrt{a^2}=-a$ (и это положительное число).
Если знак неизвестен — модуль остаётся: $\sqrt{a^2}=|a|$.
Пример с условием
Упростить $\sqrt{x^2}$ при $x<0$. Ответ: $-x$. Проверка при $x=-7$:
$\sqrt{49}=7$ и $-(-7)=7$ — сошлось.
Чётная степень
$\sqrt{a^4}=a^2$ — здесь модуль не нужен: $a^2$ и так неотрицательно.
А вот $\sqrt{a^6}=|a^3|$: куб знак сохраняет, поэтому модуль обязателен.
Выражение в скобках
$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$. Если по условию $x\ge 3$, модуль снимается: $x-3$.
Если $x<3$, то $\sqrt{(x-3)^2}=3-x$.
Правило одной строкой: модуль нужен там, где под квадратом стоит
выражение, способное быть отрицательным.
Раздел 5
Разобранные примеры
Выражение
Ответ
Почему
$\sqrt{7^2}$
$7$
число положительное, модуль ничего не меняет
$\sqrt{(-7)^2}$
$7$
$(-7)^2=49$, корень даёт $7$
$\sqrt{(-0{,}3)^2}$
$0{,}3$
то же самое с десятичной дробью
$\sqrt{x^2}$
$|x|$
знак $x$ неизвестен
$\sqrt{9x^2}$
$3|x|$
$\sqrt{9}=3$, а $\sqrt{x^2}=|x|$
$\sqrt{x^4}$
$x^2$
$x^2\ge 0$ при любом $x$
$\sqrt{(x-5)^2}$
$|x-5|$
скобка может быть отрицательной
$\sqrt{25a^2}$ при $a<0$
$-5a$
$5|a|=5\cdot(-a)$
Задача с подвохом
Найти значение $\sqrt{(3-\pi)^2}$. Так как $\pi\approx 3{,}14>3$, скобка
отрицательна, значит $\sqrt{(3-\pi)^2}=|3-\pi|=\pi-3$.
Раздел 6
Тренажёр
На экране число, возведённое в квадрат под корнем. Введите значение
выражения — оно всегда неотрицательно.
…
=
Раздел 7
Частые ошибки
Пишут $\sqrt{a^2}=a$ без оговорок. Это верно только при
$a\ge 0$. В общем случае $\sqrt{a^2}=|a|$.
Считают, что $\sqrt{(-5)^2}=-5$. Внутри уже $25$,
и корень из него равен $5$. Отрицательным корень не бывает.
Ставят два знака: $\sqrt{25}=\pm 5$. Знак $\pm$ появляется
при решении уравнения $x^2=25$, а сам символ корня даёт одно неотрицательное число.
Оставляют модуль там, где он не нужен. $\sqrt{a^4}=|a^2|$ —
избыточно: $a^2$ и так неотрицательно, достаточно $a^2$.
Снимают модуль со скобки без проверки знака.
$\sqrt{(x-3)^2}=x-3$ верно лишь при $x\ge 3$; иначе получится $3-x$.
Путают с $\left(\sqrt{a}\right)^2$. Там ответ $a$
и требуется $a\ge 0$; здесь ответ $|a|$ и $a$ любое.
Раздел 8
Задачи для самостоятельного решения
Найдите значение: $\sqrt{(-8)^2}$.
Найдите значение: $\sqrt{(-1{,}5)^2}$.
Упростите: $\sqrt{16x^2}$.
Упростите: $\sqrt{x^2}$ при $x<0$.
Упростите: $\sqrt{(x-2)^2}$ при $x\ge 2$.
Упростите: $\sqrt{a^6}$.
Найдите значение: $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}$.
Сравните: $\sqrt{(-3)^2}$ и $\left(\sqrt{3}\right)^2$.
Показать ответы и разбор
1. $8$. Внутри $64$, корень из него $8$.
2. $1{,}5$. Дробь ведёт себя так же, как целое число.
3. $4|x|$: $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{x^2}=|x|$.
4. $-x$. При отрицательном $x$ модуль раскрывается с минусом,
и ответ получается положительным.
5. $x-2$. Скобка неотрицательна, модуль снимается как есть.
6. $|a^3|$. Куб сохраняет знак, поэтому модуль обязателен.
7. $\sqrt{5}-2$. Так как $\sqrt{5}\approx 2{,}24>2$, скобка
отрицательна, и модуль раскрывается с переменой знака.
8. Равны: $\sqrt{(-3)^2}=3$ и $\left(\sqrt{3}\right)^2=3$.
Разные записи, один ответ — но условия у них разные.
Раздел 9
Шпаргалка
$\sqrt{a^2}=|a|$ при любом $a$ — квадрат стирает знак, корень его не возвращает.
$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$, но только при $a\ge 0$.
$|a|$ — расстояние до нуля: $|-5|=|5|=5$.
Известен знак — модуль раскрывают: при $a\ge 0$ это $a$, при $a<0$ это $-a$.
$\sqrt{a^4}=a^2$ (модуль не нужен), $\sqrt{a^6}=|a^3|$ (нужен).
$\sqrt{25}=5$, а не $\pm 5$: знак $\pm$ — это про уравнение $x^2=25$.
Преобразование выражений встречается почти в каждом задании ОГЭ: от вычислений до уравнений и второй части. Чем увереннее упрощаешь — тем меньше обидных ошибок.