Теорема синусов

Разминка: синусы и вписанный угол

Теорема синусов связывает стороны с синусами углов и с окружностью, поэтому вспоминаем синусы и вписанный угол.

Ответы: \(\frac12\), \(\frac{\sqrt2}{2}\), 1, \(\frac{\sqrt3}{2}\), \(\frac12\); вписанный угол \(50^\circ\) — половина дуги.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Против большего угла лежит большая сторона — теперь это видно числами.

Общее отношение не случайно: оно равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

Откуда 2R

Проведём из вершины \(C\) диаметр \(CD\). Угол \(CAD\) опирается на диаметр — он прямой. Угол \(CDA\) равен углу \(B\): оба вписанные и опираются на дугу \(CA\).

В прямоугольном треугольнике \(CAD\) катет \(CA=CD\cdot\sin D=2R\sin B\). Отсюда \(\frac{b}{\sin B}=2R\), и так для каждой стороны.

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Главное

• \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\).
• R — радиус описанной окружности.
• Сторона стоит против своего угла.