Загрузка заданий...
Вариант 202 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
| Мобильный интернет | 1,5 ГБ | 2 ГБ | 3,75 ГБ | 1 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
Разбор: Тарифы →
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
Разбор: Тарифы →
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 460 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 130 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{6}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{6}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{9}{4}) \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{8}\).
Получили дробь \(\frac{3}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,375\).
Ответ: \(0,375\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -2,043, 0,128, \(\frac{25}{6}\), \(\sqrt{20}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2,043 ≈ -2,043
2) 0,128 ≈ 0,128
3) \(\frac{25}{6}\) ≈ 4,1667
4) \(\sqrt{20}\) ≈ 4,4721
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√7 - 2)(√7 + 2).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√7)² - 2² = 7 - 4 = 3.
Ответ: 3.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{8}{x + 6} = -8$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 8/(x + 6) = -8
Область допустимых значений: x != -6.
Умножим обе части уравнения на x + 6:
8 = -8(x + 6)
Раскроем скобки:
8 = -8x - 48
Перенесём число в левую часть:
56 = -8x
x = 56 / -8
x = -7
Проверка ОДЗ: x = -7, x != -6, условие выполняется.
Ответ: -7
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события A.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего элементарных исходов: 6. Благоприятных для события A: 3.
\(P=3/6=0,5\).
Ответ: 0,5
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = \sqrt{x}\)
Б) \(y = 2x - 4\)
В) \(y = x^2 - 4\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1500 кг обладает кинетической энергией 168,75 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 168,75·1000 = 168 750 Дж.
v = √(2·168 750/1500) = 15.
Ответ: 15.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 9)(x - 3) < 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -9 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 3) < 0 получаем решение (-9;3). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 9 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 9, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 9·3^4 = 729 мг.
Ответ: 729.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/4, BC = 36. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 36 · \(\frac{7}{4}\) = 63.
Ответ: 63.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 18√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для квадрата R = a√2 / 2.
Значит, a = R·√2 = 18√2 · √2 = 36.
Ответ: 36.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов параллелограмма равен 102°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 102° = 78°.
Ответ: 78.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
Ответ: 15.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: сумма всех углов 180°.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-12}{(x-1)^2-2}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-12<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-1)^2-2<0\).
Шаг 2. \((x-1)^2<2\).
Шаг 3. \(-\sqrt{2}<x-1<\sqrt{2}\).
Шаг 4. Прибавляем 1: \(1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}\).
Ответ: \((1-\sqrt{2};\; 1+\sqrt{2})\).
Правильный ответ: (1-√2;1+√2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
216/x − 216/(x+9) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+9):
216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).
1944 = 4·x² + 36·x.
4x² + 36x − 1944 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.
x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.
12 − 8 = 4 = 4. ✓
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=2-\dfrac{x-5}{x^2-5x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=2-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=5 \).
У функции \( y=2-\frac1x \) нет значений \( y=2 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=1,8 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=1,8; 2 \).
Ответ: 1,8; 2.
Правильный ответ: 1,8; 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 8, CK = 14.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.
Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).
Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.
Шаг 2. AB = BK = 8.
Шаг 3. BC = BK + CK = 8 + 14 = 22.
Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(8 + 22) = 60.
Ответ: 60.
Правильный ответ: 60
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 86° и 4°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 1. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 86° + 4° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 6 и 1.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 6 и (b-a)/2 = 1 (или наоборот).
a+b = 12, b-a = 2.
b = 7, a = 5.
Ответ: 5; 7.
Правильный ответ: 5; 7
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.