Загрузка заданий...
Вариант 268 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1 ГБ, 3 ГБ, 3,25 ГБ, 1,5 ГБ.
| Мобильный интернет | 1 ГБ | 3 ГБ | 3,25 ГБ | 1,5 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в феврале?
Решение
Разбор: Тарифы →
В феврале минуты не превышают пакет, а интернет превышает пакет на 0,5 ГБ. Доплата за 0,5 ГБ равна 90 руб. Итого: 350 + 90 = 440 руб. Ответ: 440.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит по пакету мобильного интернета?
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в феврале по сравнению с январём 2019 года?
Решение
Разбор: Тарифы →
В январе 2,5 ГБ, в феврале 3,5 ГБ. Увеличение: 3,5 − 2,5 = 1 ГБ. Процент увеличения: 1 : 2,5 · 100% = 40%. Ответ: 40.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 440 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 180 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф оказался выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 440 руб. Ответ: 440.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} + \frac{3}{10} + \frac{4}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{1} + \frac{3}{10} + \frac{4}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{1}) + \frac{3}{10} = \frac{33}{10}\).
Шаг 2: \((\frac{33}{10}) + \frac{4}{1} = \frac{73}{10}\).
Получили дробь \(\frac{73}{10}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(7,3\).
Ответ: \(7,3\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 1 < a < 2.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) -a < -2 ⇔ a > 2 — неверно.
3) 2 - a > 0 ⇔ a < 2 — верно.
4) -a > -1 ⇔ a < 1 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{4} - 5)(\sqrt{4} + 5)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√4 - 5)(√4 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√4)² - 5² = 4 - 25 = -21.
Ответ: -21.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 2 + 2(5x - 6) = -4x - 66
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 2 + 2(5x - 6) = -4x - 66
Раскроем скобки:
2 + 2(5x - 6) = -4x - 66
2 + 10x - 12 = -4x - 66
Приведём подобные слагаемые в левой части:
10x - 10 = -4x - 66
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
14x = -56
Разделим обе части на 14:
x = -56 / 14
x = -4
Ответ: -4
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,1.
Ответ: 0,1
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b < 0
2) k > 0, b > 0
3) k < 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 50 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 50 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·50² / 2 = 0,25.
Ответ: 0,25.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x − 1,8 < 6,2 \\ x − 1,5 \leqslant 6,8 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;8). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 640 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 42 минут пройдёт 6 промежутков по 7 минут.
Тогда масса станет равна 640·(\(\frac{1}{2}\))^6 = 10 мг.
Ответ: 10.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 18 · 7 = 126/2 = 63.
Ответ: 63.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 43°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.
В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 43° = 47°.
Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.
Следовательно, ∠NMB = 47°.
Ответ: 47.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 35°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 35° = 145°.
Ответ: 145.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 10.
Средняя линия равна 10 / 2 = 5.
Ответ: 5.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Верно: диагонали любого параллелограмма, а значит и ромба, делятся пополам.
3) Неверно: такие прямые параллельны.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x^2+y=7,\\2x^2-y=5.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((x^2+y)+(2x^2-y)=7+5\Rightarrow 3x^2=12\).
Шаг 2. \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=7-x^2=7-4=3\).
Ответ: \((-2;\,3);\ (2;\,3)\).
Правильный ответ: (-2;3);(2;3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/34 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/51 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/34 + S/51) = 2 / (\(\frac{1}{34}\) + \(\frac{1}{51}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·34·51 / (34 + 51) = 3468 / 85 = 40,8 км/ч.
Ответ: 40,8.
Правильный ответ: 40,8
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=8/5 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=8/5 \), откуда \( k=25/64 \).
Ответ: \(\frac{25}{64}\).
Правильный ответ: 25/64
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 16, BF = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(16² + 12²) = √400 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 80 ⟹ a+b = 40.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·320/40 = 16.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=40 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=16:
a = 8, b = 32.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 16·\(\frac{8}{40}\) = 3,2.
Ответ: 3,2.
Правильный ответ: 3,2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.