Загрузка заданий...
Вариант 2867 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.
| Исходящие вызовы | 150 мин. | 300 мин. | 175 мин. | 375 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?
Решение
Разбор: Тарифы →
Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
Разбор: Тарифы →
350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 470 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} : \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) : \frac{2}{3} = \frac{3}{2}\).
Шаг 2: \((\frac{3}{2}) \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{2}\).
Получили дробь \(\frac{9}{2}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(4,5\).
Ответ: \(4,5\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -2,817, \(\frac{1}{3}\), \(\sqrt{3}\), 3,23 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 3 и 4.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2,817 ≈ -2,817
2) \(\frac{1}{3}\) ≈ 0,3333
3) \(\sqrt{3}\) ≈ 1,7321
4) 3,23 ≈ 3,23
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(2\sqrt{10})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (2√10)².
Используем свойство степени произведения: (2√10)² = 2² · (√10)².
Получаем 4 · 10 = 40.
Ответ: 40.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{2}{x + 9} = 1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 2/(x + 9) = 1
Область допустимых значений: x != -9.
Умножим обе части уравнения на x + 9:
2 = 1(x + 9)
Раскроем скобки:
2 = 1x + 9
Перенесём число в левую часть:
-7 = 1x
x = -7 / 1
x = -7
Проверка ОДЗ: x = -7, x != -9, условие выполняется.
Ответ: -7
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 15 чашек: 12 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 15.
Благоприятных исходов: 3 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{3}{15}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b < 0
2) k > 0, b > 0
3) k > 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,3 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим V = 0,3 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,3 = 2 940.
Ответ: 2 940.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 8)(x - 7) < 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -8 и x = 7. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 7 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 7) < 0 получаем решение (-8;7). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7° C.
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Температура уменьшается равномерно на 9° C в минуту.
Через 9 минут изменение составит 9·9 = 81° C.
Итоговая температура: -7 - 81 = -88.
Ответ: -88.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 13 · 4 = \(\frac{52}{2}\) = 26.
Ответ: 26.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 12, BC = 4, CD = 11. Найдите AD.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.
AD = AB + CD - BC = 12 + 11 - 4 = 19.
Ответ: 19.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 16 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 17 / 2 = 8,5.
Ответ: 8,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 5 и 8.
Больший катет равен 8.
Ответ: 8.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.
2) Неверно.
3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(9a-3b+11\), если \(\dfrac{5a-7b+6}{7a-5b+6}=2\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(9a-3b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(5a-7b+6 = 2(7a-5b+6)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(5a-7b+6 = 14a-10b+12\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 9a-3b+6\), откуда \(9a-3b = -6\).
Шаг 4. Вычисляем: \(9a-3b+11 = -6+11 = 5\).
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 40 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.
Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.
Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−9)) + 1/(2·60).
Шаг 3. Умножаем на 2·(x−9)·x·60 и упрощаем.
С учётом условия получаем x = 45.
Ответ: 45.
Правильный ответ: 45
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+2,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+2,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-3,25; -3; 3 \).
Ответ: \( -3,25; -3; 3 \).
Правильный ответ: -3,25; -3; 3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 4, AC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
4² + r² = (10 − r)².
16 + r² = 100 − 20r + r².
20r = 100 − 16 = 84.
r = \(\frac{84}{20}\) = 4.2.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{84}{10}\) = 8,4.
Ответ: 8,4.
Правильный ответ: 8,4
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 8 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 6, AB = 8, CD = 10, BC = 2.
Шаг 3. AD = BC + AB = 2 + 8 = 10.
S = (BC + AD)/2 · h = (2 + 10)/2 · 6 = 40.
Ответ: 40.
Правильный ответ: 40
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.