Загрузка заданий...

Вариант 294 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.

Исходящие вызовы	175 мин.	300 мин.	275 мин.	150 мин.
Номер месяца

Решение

Разбор: Тарифы →

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 1523.

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?

Решение

Разбор: Тарифы →

По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.

3 Задание 3 1 балл

Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?

Решение

Разбор: Тарифы →

По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?

Решение

Разбор: Тарифы →

Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?

Решение

Разбор: Тарифы →

Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,025 : \frac{1}{25} + \frac{1}{25}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,025 : \frac{1}{25} + \frac{1}{25}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,025) : \frac{1}{25} = 0,625$.

Шаг 2: $(0,625) + \frac{1}{25} = 0,665$.

Получили результат $0,665$.

Ответ: $0,665$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами $\sqrt{7}$ и $\frac{17}{4}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\sqrt{10}$

$\frac{49}{40}$

$\frac{1}{20}$

-4,65

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа $\sqrt{7}$ и $\frac{17}{4}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 ($\sqrt{10}$) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(4\sqrt{6})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (4√6)².

Используем свойство степени произведения: (4√6)² = 4² · (√6)².

Получаем 16 · 6 = 96.

Ответ: 96.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{6}{x - 1} = 1$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: 6/(x - 1) = 1

Область допустимых значений: x != 1.

Умножим обе части уравнения на x - 1:

6 = 1(x - 1)

Раскроем скобки:

6 = 1x - 1

Перенесём число в левую часть:

7 = 1x

x = 7 / 1

x = 7

Проверка ОДЗ: x = 7, x != 1, условие выполняется.

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 5 чёрных, 3 жёлтых и 17 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 3 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{3}{25}$ = 0,12.

Ответ: 0,12.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = 2x - 4$

Б) $y = x^2 - 4$

В) $y = \sqrt{x}$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 41 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_F = 41 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(41 − 32)/9 = 5.

Ответ: 5.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 0,1 \geqslant -1 \\ x − 2,2 \geqslant -4,3 \end{cases}$$

(-∞;-1,1]

[-1,1;+∞)

[-1,1;0,9]

(-∞;-1,1] ∪ [0,9;+∞)

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-1,1;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 26 мест, а в шестом ряду 30 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (30 - 26) / (6 - 4) = 2.

Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 26 - 3·2 = 20.

Последний ряд: a16 = a₁ + (16 - 1)·d = 20 + 15·2 = 50.

Ответ: 50.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 18 · 33 = 594/2 = 297.

Ответ: 297.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 4√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

Значит, a = 3R / √3 = 3 · 4√3 / √3 = 12.

Ответ: 12.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 178°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Значит сумма равных углов равна 178°, каждый из них равен 89°.

Искомый угол: 91°.

Ответ: 91.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 6.

S = 7 · 6 / 2 = 21.

Ответ: 21.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $38a-2b+43$, если $\dfrac{2a-8b+7}{8a-2b+7}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $38a-2b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-8b+7 = 5(8a-2b+7)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-8b+7 = 40a-10b+35$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 38a-2b+28$, откуда $38a-2b = -28$.

Шаг 4. Вычисляем: $38a-2b+43 = -28+43 = 15$.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 10) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 60/x ч, первым — 60/(x+10) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

60/x − 60/(x+10) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x+10):

60·(x+10) − 60·x = 3·x·(x+10).

600 = 3·x² + 30·x.

3x² + 30x − 600 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 30² + 4·3·600 = 900 + 7200 = 8100, √D = 90.

x = (−30 + 90) / (2·3) = 10 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — $\frac{60}{10}$ = 6 ч, первый — $\frac{60}{20}$ = 3 ч.

6 − 3 = 3 = 3. ✓

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| + 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x + 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x + 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 2.

Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.

Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).

Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).

BH = PK = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов A и B перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠B = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠B/2 = 90°.

Значит в △N (треугольник при пересечении биссектрис) угол при N равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до N равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем N — середина CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 60, AC = 80, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 60²/80 = 3600/80.

Шаг 4. CD = AC − AD = 80 − 3600/80 = 35.

Ответ: 35.

Правильный ответ: 35

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.