Загрузка заданий...
Вариант 3021 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.
| Исходящие вызовы | 175 мин. | 300 мин. | 275 мин. | 150 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.
3
Задание 3
1 балл
Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?
Решение
Разбор: Тарифы →
По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
Разбор: Тарифы →
Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.
5
Задание 5
1 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| «0» | Нет | 1,5 руб. за 1 МБ |
| «300» | 290 руб. за 300 МБ трафика в месяц | 1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ |
| «700» | 375 руб. за 700 МБ трафика в месяц | 0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ |
Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?
Решение
Разбор: Тарифы →
Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} : \frac{3}{10} - \frac{9}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{2} : \frac{3}{10} - \frac{9}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{2}) : \frac{3}{10} = \frac{5}{1}\).
Шаг 2: \((\frac{5}{1}) - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}\).
Получили дробь \(\frac{1}{2}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,5\).
Ответ: \(0,5\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами \(-\frac{157}{40}\) и \(-\frac{3}{10}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа \(-\frac{157}{40}\) и \(-\frac{3}{10}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-3,25) лежит между этими числами.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(6\sqrt{2})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (6√2)².
Используем свойство степени произведения: (6√2)² = 6² · (√2)².
Получаем 36 · 2 = 72.
Ответ: 72.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 3 + 4(-3x + 5) = -10x + 7
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 3 + 4(-3x + 5) = -10x + 7
Раскроем скобки:
3 + 4(-3x + 5) = -10x + 7
3 - 12x + 20 = -10x + 7
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-12x + 23 = -10x + 7
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
-2x = -16
Разделим обе части на -2:
x = -16 / -2
x = 8
Ответ: 8
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 25 чашек: 6 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 19 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{19}{25}\) = 0,76.
Ответ: 0,76.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -4 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_F = -4 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-4 − 32)/9 = -20.
Ответ: -20.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} -3,6 − 3x > -18,6 \\ x + 2 \leqslant 6,3 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;4,3]. Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 400, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 6-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 7-го уже меньше.
Ответ: 7.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 108°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.
Сумма углов при основании равна 180° - 108° = 72°.
Каждый из них равен 72° : 2 = 36°.
Ответ: 36.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 19°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.
∠AOB = 2 · 19° = 38°.
Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.
Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.
∠AOD = 180° - 38° = 142°.
Ответ: 142.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 62°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 62° = 118°.
Ответ: 118.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 4 и 8.
m = (4 + 8) / 2 = 6.
Ответ: 6.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Верно: диагонали любого параллелограмма, а значит и ромба, делятся пополам.
3) Неверно: такие прямые параллельны.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(2a-5b+12\), если \(\dfrac{4a-3b+3}{3a-4b+3}=2\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(2a-5b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(4a-3b+3 = 2(3a-4b+3)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(4a-3b+3 = 6a-8b+6\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 2a-5b+3\), откуда \(2a-5b = -3\).
Шаг 4. Вычисляем: \(2a-5b+12 = -3+12 = 9\).
Ответ: 9.
Правильный ответ: 9
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).
Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 9) км/ч.
Шаг 2. Время в пути одинаковое с учётом остановки:
112/x = 112/(x+9) + 4.
Шаг 3. Переносим и умножаем на x·(x+9): 4x² + 36x − 1008 = 0.
Шаг 4. D = 17424, √D = 132. x = (−36+132)/(2·4) = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=3-\dfrac{x+2}{x^2+2x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=3-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-2 \).
У функции \( y=3-\frac1x \) нет значений \( y=3 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=3,5 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=3; 3,5 \).
Ответ: 3; 3,5.
Правильный ответ: 3; 3,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 10 и 26. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(26² − 10²) = √576 = 24.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 10·\(\frac{24}{2}\) = 120.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 26 и высоту h к ней: S = 26·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 10·\(\frac{24}{26}\) = 120/13.
Ответ: 120/13.
Правильный ответ: 120/13
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. PK = PL (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка P равноудалена от K и L
⟹ P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку KL.
Шаг 2. QK = QL (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка Q тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая PQ совпадает с серединным перпендикуляром к KL.
Следовательно, PQ ⟂ KL. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 180 ⟹ a+b = 90.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1620/90 = 36.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=90 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=36:
a = 18, b = 72.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 36·\(\frac{18}{90}\) = 7,2.
Ответ: 7,2.
Правильный ответ: 7,2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.