Загрузка заданий...
Вариант 3162 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.
| Исходящие вызовы | 375 мин. | 150 мин. | 275 мин. | 300 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.
3
Задание 3
1 балл
Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?
4
Задание 4
1 балл
В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?
Решение
Разбор: Тарифы →
В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.
5
Задание 5
1 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| «0» | Нет | 1,5 руб. за 1 МБ |
| «300» | 290 руб. за 300 МБ трафика в месяц | 1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ |
| «700» | 375 руб. за 700 МБ трафика в месяц | 0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ |
Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?
Решение
Разбор: Тарифы →
Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$8 + 0,015$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(8 + 0,015\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((8) + 0,015 = 8,015\).
Ответ: \(8,015\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами \(-\frac{2}{25}\) и \(\sqrt{6}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа \(-\frac{2}{25}\) и \(\sqrt{6}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (\(\frac{5}{8}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√7 - 5)(√7 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√7)² - 5² = 7 - 25 = -18.
Ответ: -18.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 14x + 49 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 - 14x + 49 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -14, c = 49.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -14² - 4·1·49 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = 14 / 2 = 7
Ответ: 7
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(A \cup B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего исходов: 50. Вероятность события \(A \cup B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=32/50=0,64\).
Ответ: 0,64
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = \sqrt{x}\)
Б) \(y = x^2 - 4\)
В) \(y = 2x - 4\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 432 Вт, а сила тока равна 6 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 432/(6²) = 12.
Ответ: 12.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 9)(x - 3) > 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -9 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 3) > 0 получаем решение (-∞;-9) ∪ (3;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 12 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 7 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = -7.
Последний положительный член прогрессии равен 5, значит секунд движения до полной остановки было 2.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 2·(12 + 5)/2 = 17.
Ответ: 17.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 24°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Биссектриса делит угол пополам.
Поэтому ∠BAD = 24° : 2 = 12°.
Ответ: 12.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.
Значит, a = 2r√3 = 2 · 6√3 · √3 = 36.
Ответ: 36.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Диагональ BD делит угол B на два данных угла.
Угол B равен 65° + 50° = 115°.
Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 115° = 65°.
Ответ: 65.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 4 и 3.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
Ответ: 5.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: по определению окружности.
2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-12=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: делаем замену \(t=\frac{1}{x}\), чтобы свести к квадратному уравнению.
Шаг 1. Обозначим \(t=\frac{1}{x}\). Тогда \(\frac{1}{x^2}=t^2\). Уравнение становится:
\(t^2+4t-12=0\).
Шаг 2. Находим корни. Дискриминант: \(D=4^2+4\cdot12=16+48=64\), \(\sqrt{D}=8\).
\(t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=\frac{1}{t}\):
Если \(t=2\): \(x=\dfrac{1}{2}\).
Если \(t=-6\): \(x=-\dfrac{1}{6}\).
Шаг 4. Проверяем ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(-\dfrac{1}{6};\quad \dfrac{1}{2}\).
Правильный ответ: -1/6;1/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 2 ч раньше, значит его время меньше:
480/x − 480/(x+20) = 2.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):
480·(x+20) − 480·x = 2·x·(x+20).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 480·20 = 9600. Получаем:
2x² + 40x − 9600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 40² + 4·2·9600 = 78400, √D = 280.
x = (−40 + 280) / (2·2) = 60 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 60 + 20 = 80 км/ч.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}2{,}5x-1,& x<2,\\-3{,}5x+11,& 2\le x\le 3,\\x-1,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: [0,5;2]∪{4}.
Ответ: [0,5;2]∪{4}.
Правильный ответ: [0,5;2]∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 15, DC = 75, AC = 78.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = \(\frac{15}{75}\) = \(\frac{1}{5}\).
Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 5.
Одна «часть» = AC / (5+1) = 78 / 6 = 13.
Шаг 3. MC = 5 · 13 = 65.
Ответ: 65.
Правильный ответ: 65
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 18 и 6, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 10² = 100, AD·BC = 18·6 = 108.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.