Загрузка заданий...
Вариант 3275 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.
| Исходящие вызовы | 375 мин. | 150 мин. | 275 мин. | 300 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.
3
Задание 3
1 балл
Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?
4
Задание 4
1 балл
В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?
Решение
Разбор: Тарифы →
В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.
5
Задание 5
1 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| «0» | Нет | 1,5 руб. за 1 МБ |
| «300» | 290 руб. за 300 МБ трафика в месяц | 1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ |
| «700» | 375 руб. за 700 МБ трафика в месяц | 0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ |
Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?
Решение
Разбор: Тарифы →
Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} : \frac{4}{5} : \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} : \frac{4}{5} : \frac{1}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) : \frac{4}{5} = \frac{5}{8}\).
Шаг 2: \((\frac{5}{8}) : \frac{1}{1} = \frac{5}{8}\).
Получили дробь \(\frac{5}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,625\).
Ответ: \(0,625\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 2 до 3,8?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 2 и 3,8. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\sqrt{6}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{108} + \sqrt{12})\sqrt{3}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√108 + √12)·√3.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √108 = 6√3, √12 = 2√3.
Тогда получаем (6√3 + 2√3)·√3 = 8√3·√3.
Так как √3·√3 = 3, имеем 8·3 = 24.
Ответ: 24.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(-9x)}{6} - \frac{(-9x - 3)}{3} + 5x = 14$$
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: (-9x)/6 - (-9x - 3)/3 + 5x = 14
Домножим обе части на НОК знаменателей 6 и 3, то есть на 6.
Получим:
(-9x + 0) - (-18x - 6) + 30x = 84
Приведём подобные слагаемые:
39x + 6 = 84
Перенесём число в правую часть:
39x = 78
Разделим обе части на 39:
x = 78 / 39
x = 2
Ответ: 2
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 50 карманных фонариков, поступивших в продажу, 21 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 29 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{29}{50}\) = 0,58.
Ответ: 0,58.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k < 0, b > 0
Б) k > 0, b < 0
В) k > 0, b > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.
Ответ: 271.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 1 > -5,6 \\ 3x − 3,6 \leqslant -23,4 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 450, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 6-го уже меньше.
Ответ: 6.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 162°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.
Поэтому он равен 180° - 162° = 18°.
Ответ: 18.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,96. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
Значит, диагональ равна 25.
Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.
После вычисления сторон получаем площадь 168.
Ответ: 168.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 20, а tg ∠BCA = 0,8. Найдите площадь ромба.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.
Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 20 · 0,8 = 16.
S = AC · BD / 2 = 20 · 16 / 2 = 160.
Ответ: 160.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 5 и 7, высота равна 4.
S = (5 + 7) / 2 · 4 = 24.
Ответ: 24.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((7-x)(x^2-49)\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: разложить \(x^2-49\) и \((7-x)\) через \((x-7)\), собрать в одно выражение.
Шаг 1. Разложения: \(x^2-49=(x-7)(x+7)\) и \(7-x=-(x-7)\).
Шаг 2. Перемножаем: \((7-x)(x^2-49)=-(x-7)\cdot(x-7)(x+7)=-(x-7)^2(x+7)\).
Шаг 3. Неравенство принимает вид: \(-(x-7)^2(x+7)\ge0\).
Шаг 4. Делим на \(-1\) — знак меняется: \((x-7)^2(x+7)\le0\).
Шаг 5. Анализ: \((x-7)^2\ge0\) всегда.
Произведение \(\le0\) при двух условиях:
а) \(x+7\le0\) и \((x-7)^2>0\), то есть \(x\le-7\) (и \(x\ne7\), что выполнено);
б) \((x-7)^2=0\), то есть \(x=7\) (тогда произведение равно нулю).
Ответ: \((-\infty;\;-7]\cup\{7\}\).
Правильный ответ: (-∞;-7]∪{7}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 15) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 100/(x−15) мин, второй — 100/x мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:
100/(x−15) − 100/x = 6.
Шаг 4. Умножаем на x(x−15):
100·x − 100·(x−15) = 6·x·(x−15).
1500 = 6·x² − 90·x.
6x² − 90x − 1500 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 90² + 4·6·1500 = 8100 + 36000 = 44100, √D = 210.
x = (90 + 210) / (2·6) = 25 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 100/10 = 10 мин, вторая — 100/25 = 4 мин.
10 − 4 = 6 = 6. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2-2x+1,& x\ge -3,\\-x-2,& x<-3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: [-2;1]∪{2}.
Ответ: [-2;1]∪{2}.
Правильный ответ: [-2;1]∪{2}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и CH = 5. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 20 + 5 = 25.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 25 и катетом DH = 20.
Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(25² − 20²) = √(225) = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.
Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).
Шаг 2. Прямая через O пересекает BC в точке L и AD в точке N.
Центральная симметрия переводит BC в AD и L в N (так как O — центр).
Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит CL = AN. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 84, AC = 98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.
Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.
Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).
Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.
Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):
AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 84²/98 = 7056/98.
Шаг 4. CD = AC − AD = 98 − 7056/98 = 26.
Ответ: 26.
Правильный ответ: 26
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.