Загрузка заданий...

Вариант 3347 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.

Исходящие вызовы	175 мин.	300 мин.	275 мин.	150 мин.
Номер месяца

Решение

Разбор: Тарифы →

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 1523.

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?

Решение

Разбор: Тарифы →

По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.

3 Задание 3 1 балл

Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?

Решение

Разбор: Тарифы →

По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?

Решение

Разбор: Тарифы →

Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?

Решение

Разбор: Тарифы →

Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,375 + \frac{3}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,375 + \frac{3}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,375) + \frac{3}{10} = 0,675$.

Получили результат $0,675$.

Ответ: $0,675$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-7 - a > 0

$\frac{1}{a} > 0$

a < -8

a > -7

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -8 < a < -7.

Проверим варианты ответа:

1) -7 - a > 0 ⇔ a < -7 — верно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a < -8 ⇔ a < -8 — неверно.

4) a > -7 ⇔ a > -7 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 3)(\sqrt{6} + 3)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√6 - 3)(√6 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√6)² - 3² = 6 - 9 = -3.

Ответ: -3.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{7}{x - 6} = -7$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: 7/(x - 6) = -7

Область допустимых значений: x != 6.

Умножим обе части уравнения на x - 6:

7 = -7(x - 6)

Раскроем скобки:

7 = -7x + 42

Перенесём число в левую часть:

-35 = -7x

x = -35 / -7

x = 5

Проверка ОДЗ: x = 5, x != 6, условие выполняется.

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 16 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 34 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{34}{50}$ = 0,68.

Ответ: 0,68.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = -x + 3$

2) $y = -2x - 3$

3) $y = \dfrac{1}{2}x + 4$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,05 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим V = 0,05 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,05 = 490.

Ответ: 490.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 0,7 < -0,8 \\ x + 2,5 > 2,4 \end{cases}$$

(-0,1;+∞)

нет решений

(-∞;-0,1) ∪ (-0,1;+∞)

(-∞;-0,1] ∪ [-0,1;+∞)

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 4, q = 3.

За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 4·3^5 = 972 мг.

Ответ: 972.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 20 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.

x² = 25² - 20² = 625 - 400 = 225.

Значит, x = 15.

Ответ: 15.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 6√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 6√2 = 12√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 12√2 · √2 = 24.

Ответ: 24.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 29°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.

Следовательно, острый угол равен 2 · 29° = 58°.

Ответ: 58.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 8 и 2.

Искомое отношение площадей равно (8 / 2)² = 16.

Ответ: 16.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-3)^2<\sqrt{5}(x-3)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-3)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-3)^2-\sqrt{5}(x-3)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-3)\bigl[(x-3)-\sqrt{5}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=3$ и $x=3+\sqrt{5}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(3;\; 3+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (3;3+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.

Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.

Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·30) + S/(2·(x+9)).

Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·30) + S/(2·(x+9)).

Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·30·x·(x+9):

2·30·(x+9) = x·(x+9) + 30·x.

Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -21x − 540 = 0.

Шаг 6. D = -21² + 4·540 = 2601, √D = 51.

x = (−-21 + 51) / 2 = 36 (берём положительный корень).

Ответ: 36.

Правильный ответ: 36

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -5.

Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -5.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 6. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 24 + 6 = 30.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 30 и катетом DH = 24.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(30² − 24²) = √(324) = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 47° и 43°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 9. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 47° + 43° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 11 и 9.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 11 и (b-a)/2 = 9 (или наоборот).

a+b = 22, b-a = 18.

b = 20, a = 2.

Ответ: 2; 20.

Правильный ответ: 2; 20

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.