Загрузка заданий...
Вариант 3365 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
| Мобильный интернет | 1,5 ГБ | 2 ГБ | 3,75 ГБ | 1 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
Разбор: Тарифы →
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
Разбор: Тарифы →
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 460 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 130 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,05 + 0,375$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,05 + 0,375\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,05) + 0,375 = 0,425\).
Ответ: \(0,425\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 3 < a < 4.
Проверим варианты ответа:
1) a > 4 ⇔ a > 4 — неверно.
2) -a > -3 ⇔ a < 3 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{20} + \sqrt{125})\sqrt{5}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√20 + √125)·√5.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √20 = 2√5, √125 = 5√5.
Тогда получаем (2√5 + 5√5)·√5 = 7√5·√5.
Так как √5·√5 = 5, имеем 7·5 = 35.
Ответ: 35.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-8}{x + 5} = -1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -8/(x + 5) = -1
Область допустимых значений: x != -5.
Умножим обе части уравнения на x + 5:
-8 = -1(x + 5)
Раскроем скобки:
-8 = -1x - 5
Перенесём число в левую часть:
-3 = -1x
x = -3 / -1
x = 3
Проверка ОДЗ: x = 3, x != -5, условие выполняется.
Ответ: 3
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 2 чёрных, 12 жёлтых и 26 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 12 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{12}{40}\) = 0,3.
Ответ: 0,3.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -3x^2 + 9x - 4\)
Б) \(y = \dfrac{2}{3}x - 5\)
В) \(y = -\dfrac{6}{x}\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1 = 6, sinα = 0,417, а S = 8,75.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).
d₂ = 2·8,75/(6·0,417) = 7.
Ответ: 7.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 49 ≥ 0
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Решаем x² - 49 >= 0. Нули: x = -7 и x = 7. Верное решение: (-∞;-7] ∪ [7;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 6 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 6, q = 3.
За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 6·3^5 = 1458 мг.
Ответ: 1458.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169.
Значит, c = 13.
Ответ: 13.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно 2√3. Найдите сторону треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.
Для равностороннего треугольника a = 2r√3.
Подставляя r = 2√3, получаем a = 12.
Ответ: 12.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов равнобедренной трапеции равен 99°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
В равнобедренной трапеции соседние углы при боковой стороне supplementary.
Искомый угол равен 180° - 99° = 81°.
Ответ: 81.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 5.
Искомое отношение площадей равно (10 / 5)² = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-3)^2<\sqrt{5}(x-3)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-3)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-3)^2-\sqrt{5}(x-3)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-3)\bigl[(x-3)-\sqrt{5}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=3\) и \(x=3+\sqrt{5}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((3;\; 3+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (3;3+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 10) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 60/x ч, вторым — 60/(x−10) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:
60/(x−10) − 60/x = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x−10):
60·x − 60·(x−10) = 3·x·(x−10).
600 = 3·x² − 30·x.
3x² − 30x − 600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 30² + 4·3·600 = 900 + 7200 = 8100, √D = 90.
x = (30 + 90) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — \(\frac{60}{20}\) = 3 ч, второй — \(\frac{60}{10}\) = 6 ч.
6 − 3 = 3 = 3. ✓
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{7x-10}{7x^2-10x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=10/7 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=10/7 \), откуда \( k=49/100 \).
Ответ: 49/100.
Правильный ответ: 49/100
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 20, а одна из диагоналей ромба равна 80. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.
Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.
Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).
Шаг 2. По условию r = 20, диагональ = 80 = 4r.
Значит диагональ = 4·20, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.
Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = \(\frac{1}{2}\), α/2 = 30°, α = 60°.
Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.
Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 40 + 16... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 9, AB = 40, CD = 41, BC = 16.
Шаг 3. AD = BC + AB = 16 + 40 = 56.
S = (BC + AD)/2 · h = (16 + 56)/2 · 9 = 820.
Ответ: 820.
Правильный ответ: 820
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.