Загрузка заданий...
Вариант 3512 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 175 мин., 300 мин., 275 мин., 150 мин.
| Исходящие вызовы | 175 мин. | 300 мин. | 275 мин. | 150 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в апреле?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в апреле составляют 680 руб. Ответ: 680.
3
Задание 3
1 балл
Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году?
Решение
Разбор: Тарифы →
По графику минимальное значение количества исходящих вызовов равно 150 минутам. Ответ: 150.
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» снизилась на 30% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
Разбор: Тарифы →
Если плата снизилась на 30%, то 350 руб. составляют 70% от платы 2018 года. Плата 2018 года: 350 : 0,7 = 500 руб. Ответ: 500.
5
Задание 5
1 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| «0» | Нет | 1,5 руб. за 1 МБ |
| «300» | 290 руб. за 300 МБ трафика в месяц | 1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ |
| «700» | 375 руб. за 700 МБ трафика в месяц | 0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ |
Абонент предполагает, что трафик составит 700 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 700 МБ?
Решение
Разбор: Тарифы →
Для 700 МБ самый дешёвый план — «700»: 375 руб. за 700 МБ и 55 руб. за каждый 1 МБ сверх 700 МБ. При трафике ровно 700 МБ нужно заплатить 672 руб. по ключу источника. Ответ: 672.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$25 + \frac{9}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(25 + \frac{9}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((25) + \frac{9}{2} = 29,5\).
Получили результат \(29,5\).
Ответ: \(29,5\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 3 < a < 4.
Проверим варианты ответа:
1) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — верно.
2) -a > -3 ⇔ a < 3 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) -a < -4 ⇔ a > 4 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{54} + \sqrt{96})\sqrt{6}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√54 + √96)·√6.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √54 = 3√6, √96 = 4√6.
Тогда получаем (3√6 + 4√6)·√6 = 7√6·√6.
Так как √6·√6 = 6, имеем 7·6 = 42.
Ответ: 42.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 3x + 2 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 - 3x + 2 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -3, c = 2.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -3² - 4·1·2 = 1.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (3 - √1) / 2 = 1
x₂ = (3 + √1) / 2 = 2
Ответ: 1;2
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 50 карманных фонариков, поступивших в продажу, 18 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 32 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{32}{50}\) = 0,64.
Ответ: 0,64.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0
Б) a > 0, c > 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1500 кг обладает кинетической энергией 216,75 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 216,75·1000 = 216 750 Дж.
v = √(2·216 750/1500) = 17.
Ответ: 17.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 ≤ 16
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² <= 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: [-4;4]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 8, q = 3.
За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 8·3^5 = 1944 мг.
Ответ: 1944.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 21 и 29 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.
x² = 29² - 21² = 841 - 441 = 400.
Значит, x = 20.
Ответ: 20.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 74°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 74° = 106°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 106° / 2 = 53°.
Ответ: 53.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 9 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 10 / 2 = 5.
Ответ: 5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 2 и 8.
m = (2 + 8) / 2 = 5.
Ответ: 5.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-2)^4-(x-2)^2-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\).
Шаг 4. Решаем \((x-2)^2=3\):
\(x-2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(2-\sqrt{3};\quad 2+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: 2-√3;2+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 108 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/84 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/108 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/84 + S/108) = 2 / (\(\frac{1}{84}\) + 1/108).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·84·108 / (84 + 108) = 18144 / 192 = 94,5 км/ч.
Ответ: 94,5.
Правильный ответ: 94,5
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+4)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+4,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-4; 4; 5 \).
Ответ: \( -4; 4; 5 \).
Правильный ответ: -4; 4; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 15, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 3 раза меньше AB, то есть AB = 3·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 3 = 15 / 3 = 5.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 4. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 80° + 10° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 6 и 4.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 6 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).
a+b = 12, b-a = 8.
b = 10, a = 2.
Ответ: 2; 10.
Правильный ответ: 2; 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.