Загрузка заданий...

Вариант 3714 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.

Исходящие вызовы	150 мин.	300 мин.	175 мин.	375 мин.
Номер месяца

Решение

Разбор: Тарифы →

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3517.

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?

Решение

Разбор: Тарифы →

По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?

Решение

Разбор: Тарифы →

Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?

Решение

Разбор: Тарифы →

350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	470 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	120 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	160 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

Разбор: Тарифы →

По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{100} + 1,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{100} + 1,25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{100}) + 1,25 = 1,26$.

Получили результат $1,26$.

Ответ: $1,26$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -0,6 и 4,725?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,75

$-\frac{19}{25}$

$-\frac{24}{5}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -0,6 и 4,725. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (3) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(6\sqrt{5})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (6√5)².

Используем свойство степени произведения: (6√5)² = 6² · (√5)².

Получаем 36 · 5 = 180.

Ответ: 180.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x - 6y = -47 \\ 7x - 2y = 21 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-x - 6y = -47

7x - 2y = 21

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе — на -1.

Получим:

$(-x - 6y = -47) \cdot 7$: -7x - 42y = -329

$(7x - 2y = 21) \cdot -1$: -7x + 2y = -21

Вычтем второе уравнение из первого:

-44y = -308

y = -308 / -44 = 7

Подставим y = 7 в первое уравнение:

-x - 6y = -47

Получаем x = 5.

Ответ: (5;7)

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 12 чёрных, 24 жёлтых и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 24 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{24}{40}$ = 0,6.

Ответ: 0,6.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = \dfrac{5}{3}x - 1$

В) $y = -x^2 + 2x + 3$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 24,75 Вт, а сила тока равна 1,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 24,75/(1,5²) = 11.

Ответ: 11.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 6x − 0,9 < 0,3 \\ x − 0,7 < -0,8 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;-0,1). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 7 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 7 см = 0,07 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 7/20, AB = 40. Найдите AC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 40 · $\frac{7}{20}$ = 14.

Ответ: 14.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 36, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 36 · 0,75 = 27.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 36 · 27 / 2 = 486.

Сторона ромба a = √(($\frac{36}{2}$)² + ($\frac{27}{2}$)²) = 22,5.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 486 / (2·22,5) = 10,8.

Ответ: 10,8.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg ∠BCA = 0,1. Найдите площадь ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 30 · 0,1 = 3.

S = AC · BD / 2 = 30 · 3 / 2 = 45.

Ответ: 45.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 6.

Средняя линия равна 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².

2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.

3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-2)^4+3(x-2)^2-10=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биквадратное по $(x-2)$. Замена $t=(x-2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+3t-10=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+5)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-5$, $t_2=2$.

Шаг 3. Так как $t\ge0$, берём только $t=2$. (Значение $t=-5$ исключаем.)

Шаг 4. Решаем $(x-2)^2=2$:

$x-2=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{2}$.

Ответ: $2-\sqrt{2};\quad 2+\sqrt{2}$.

Правильный ответ: 2-√2;2+√2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 4. По течению: x + 4.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 3 ч больше):

288/(x − 4) − 288/(x + 4) = 3.

Шаг 3. Умножаем на (x−4)(x+4) = x²−16:

288(x+4) − 288(x−4) = 3(x²−16).

Шаг 4. Левая часть: 288·2·4 = 2304. Получаем квадратное уравнение:

3x² − 2304 − 48 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 28.

Шаг 6. Проверка: 288/24 = 12 ч, 288/32 = 9 ч, разность 3 ч. ✓

Ответ: 28.

Правильный ответ: 28

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+0,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1,25; -1; 1 $.

Ответ: $ -1,25; -1; 1 $.

Правильный ответ: -1,25; -1; 1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,2, а AB = 3.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.

Шаг 1. Из условия задачи D = 3,2, AB = 3.

Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².

AC² − 3,2·AC − 3² = 0.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 3,2·AC − 9 = 0.

Положительный корень: AC = 5.

Проверка: D = (5² − 3²)/5 = $\frac{16}{5}$ = 3,2. ✓

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 80, MD = 64, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 80 − 64 = 16.

AM² = 256.

AH = AM² / AD = 256 / 80 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 80 − 4096/80 = 28,8.

Ответ: 28,8.

Правильный ответ: 28,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.