Загрузка заданий...
Вариант 4043 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.
| Исходящие вызовы | 150 мин. | 300 мин. | 175 мин. | 375 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?
Решение
Разбор: Тарифы →
Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
Разбор: Тарифы →
350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 470 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{10} + \frac{7}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{10} + \frac{7}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{10}) + \frac{7}{4} = \frac{49}{20}\).
Получили дробь \(\frac{49}{20}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,45\).
Ответ: \(2,45\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу \(\frac{\sqrt{13}}{2}\). Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{\sqrt{13}}{2}\) по своему значению совпадает с точкой D.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3^{-1} \cdot (3^2)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 3^(-1) · (3^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^2)^2 = 3^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-1 · 3^4 = 3^3.
Получаем 3^3 = 27.
Ответ: 27.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{2}{x - 7} = -1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 2/(x - 7) = -1
Область допустимых значений: x != 7.
Умножим обе части уравнения на x - 7:
2 = -1(x - 7)
Раскроем скобки:
2 = -1x + 7
Перенесём число в левую часть:
-5 = -1x
x = -5 / -1
x = 5
Проверка ОДЗ: x = 5, x != 7, условие выполняется.
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 19 чёрных, 4 жёлтых и 2 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 4 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{4}{25}\) = 0,16.
Ответ: 0,16.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = -2x^2 - 10x - 13\)
Б) \(y = -\dfrac{9}{x}\)
В) \(y = \dfrac{1}{3}x + 1\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 173,4 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 173,4·1000 = 173 400 Дж.
v = √(2·173 400/1200) = 17.
Ответ: 17.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-4x - 9 > -6x - 12
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -4x - 9 > -6x - 12.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x > -3.
Делим обе части на 2: x > -1,5.
Значит, x больше -1,5.
Этому соответствует промежуток (-1,5;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунд торможения?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 21, d = -4, n = 4.
Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·21 + 3·(-4))/2 = 60.
Ответ: 60.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/9, AB = 18. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 18 · \(\frac{4}{9}\) = 8.
Ответ: 8.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 48°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.
Тогда угол ACB опирается на диаметр и равен 90°.
Следовательно, ∠ABC = 90° - 48° = 42°.
Ответ: 42.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 15, а угол при основании равен 45°.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
При угле 45° разность оснований равна двум высотам.
Меньшее основание равно 15 - 2·5 = 5.
Ответ: 5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 10 и 8.
S = 10 · 8 / 2 = 40.
Ответ: 40.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: сумма всех углов 180°.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-9)^2<\sqrt{2}(x-9)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-9)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-9)^2-\sqrt{2}(x-9)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-9)\bigl[(x-9)-\sqrt{2}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=9\) и \(x=9+\sqrt{2}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((9;\; 9+\sqrt{2})\).
Правильный ответ: (9;9+√2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
80/(x + 5) + 60/(x − 5) = 10.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
80(x−5) + 60(x+5) = 10(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 15.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{80}{20}\) = 4 ч, \(\frac{60}{10}\) = 6 ч, сумма 10 ч. ✓
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| - 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x - 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x - 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -5.
Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: -5.
Правильный ответ: -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 12, CK = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.
Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).
Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.
Шаг 2. AB = BK = 12.
Шаг 3. BC = BK + CK = 12 + 10 = 22.
Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(12 + 22) = 68.
Ответ: 68.
Правильный ответ: 68
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.
Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):
∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.
Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 115° − 90° = 25°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 95° − 90° = 5°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 25° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 5° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 5° = 85°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 85° − 25° = 60°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(60°) = 12 / sin(60°) = 8√3.
Ответ: 8√3.
Правильный ответ: 8√3
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.