Загрузка заданий...
Вариант 536 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.
| Исходящие вызовы | 375 мин. | 150 мин. | 275 мин. | 300 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.
3
Задание 3
1 балл
Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?
4
Задание 4
1 балл
В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?
Решение
Разбор: Тарифы →
В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.
5
Задание 5
1 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| «0» | Нет | 1,5 руб. за 1 МБ |
| «300» | 290 руб. за 300 МБ трафика в месяц | 1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ |
| «700» | 375 руб. за 700 МБ трафика в месяц | 0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ |
Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?
Решение
Разбор: Тарифы →
Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,06 : 6$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,06 : 6\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,06) : 6 = 0,01\).
Ответ: \(0,01\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами 0,175 и 4,65?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 0,175 и 4,65. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (0,84) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{10} \cdot 6\sqrt{10} \cdot \sqrt{100}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 2√10 · 6√10 · √100.
Перемножим коэффициенты: 2 · 6 = 12.
Подкоренные выражения дают: √10 · √10 · √100 = √(10·10·100) = √(10000) = 100.
Тогда всё выражение равно 12 · 100 = 1200.
Ответ: 1200.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 7x - 18 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 + 7x - 18 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 7, c = -18.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 7² - 4·1·-18 = 121.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-7 - √121) / 2 = -9
x₂ = (-7 + √121) / 2 = 2
Ответ: -9;2
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 40 чашек: 17 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 23 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{23}{40}\) = 0,575.
Ответ: 0,575.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2000 кг обладает кинетической энергией 196 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 196·1000 = 196 000 Дж.
v = √(2·196 000/2000) = 14.
Ответ: 14.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 5)(x - 1) ≥ 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -5 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 1) >= 0 получаем решение (-∞;-5] ∪ [1;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 3, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 3·3^4 = 243 мг.
Ответ: 243.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 46°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
BH — высота, значит BH ⟂ AC.
Угол между AB и AC равен 46°.
Тогда угол между AB и BH равен 90° - 46° = 44°.
Ответ: 44.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 41°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 132° - 41° = 91°.
Ответ: 91.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 8√2 · √2 = 16.
Ответ: 16.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 5 и 7, высота равна 4.
S = (5 + 7) / 2 · 4 = 24.
Ответ: 24.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-2)^4+3(x-2)^2-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биквадратное по \((x-2)\). Замена \(t=(x-2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+5)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-5\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Так как \(t\ge0\), берём только \(t=2\). (Значение \(t=-5\) исключаем.)
Шаг 4. Решаем \((x-2)^2=2\):
\(x-2=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{2}\).
Ответ: \(2-\sqrt{2};\quad 2+\sqrt{2}\).
Правильный ответ: 2-√2;2+√2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 3 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 3) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 260/(x−3) мин, второй — 260/x мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:
260/(x−3) − 260/x = 6.
Шаг 4. Умножаем на x(x−3):
260·x − 260·(x−3) = 6·x·(x−3).
780 = 6·x² − 18·x.
6x² − 18x − 780 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·6·780 = 324 + 18720 = 19044, √D = 138.
x = (18 + 138) / (2·6) = 13 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 260/10 = 26 мин, вторая — 260/13 = 20 мин.
26 − 20 = 6 = 6. ✓
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.
Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.
Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).
Шаг 2. По условию r = 13, диагональ = 52 = 4r.
Значит диагональ = 4·13, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.
Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = \(\frac{1}{2}\), α/2 = 30°, α = 60°.
Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.
Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.
Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,
поэтому высота hK = (hC + hD)/2.
Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.
Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.
Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 12 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 10 · 12 = 120.
BE = √120 = 2√6.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√6.
Ответ: 2√6.
Правильный ответ: 2√6
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.