Загрузка заданий...
Вариант 593 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
| Мобильный интернет | 1,5 ГБ | 2 ГБ | 3,75 ГБ | 1 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
Разбор: Тарифы →
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
Разбор: Тарифы →
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 460 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 130 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,04 : 0,2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,04 : 0,2\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,04) : 0,2 = 0,2\).
Ответ: \(0,2\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) -3 - a < 0 ⇔ a > -3 — неверно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
3) a > -4 ⇔ a > -4 — верно.
4) a < -4 ⇔ a < -4 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5√2 · 2√3 · √6.
Перемножим коэффициенты: 5 · 2 = 10.
Подкоренные выражения дают: √2 · √3 · √6 = √(2·3·6) = √(36) = 6.
Тогда всё выражение равно 10 · 6 = 60.
Ответ: 60.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(-3x)}{3} - \frac{(9x + 9)}{4} + 3x = -1$$
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: (-3x)/3 - (9x + 9)/4 + 3x = -1
Домножим обе части на НОК знаменателей 3 и 4, то есть на 12.
Получим:
(-12x + 0) - (27x + 27) + 36x = -12
Приведём подобные слагаемые:
-3x - 27 = -12
Перенесём число в правую часть:
-3x = 15
Разделим обе части на -3:
x = 15 / -3
x = -5
Ответ: -5
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события A.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего элементарных исходов: 4. Благоприятных для события A: 2.
\(P=2/4=0,5\).
Ответ: 0,5
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0
Б) a > 0, c > 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 10 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 490 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 490/(9,8·10) = 5.
Ответ: 5.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,4 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 25 см = 0,25 м.
После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.
Ответ: 6.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 24°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Биссектриса делит угол пополам.
Поэтому ∠BAD = 24° : 2 = 12°.
Ответ: 12.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 25. Найдите AC, если BC = 48.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.
Поэтому AB = 2R = 50.
Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.
По теореме Пифагора находим неизвестный катет.
Ответ: 14.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 60, а tg ∠BCA = 0,4. Найдите площадь ромба.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.
Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 60 · 0,4 = 24.
S = AC · BD / 2 = 60 · 24 / 2 = 720.
Ответ: 720.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 12 и 2.
S = 12 · 2 / 2 = 12.
Ответ: 12.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.
2) Верно: свойство биссектрисы угла.
3) Неверно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, не обязательно ромб.
Ответ: 12.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2+y=9,\\8x^2-y=3.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((4x^2+y)+(8x^2-y)=9+3\Rightarrow 12x^2=12\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=9-4x^2=9-4=5\).
Ответ: \((-1;\,5);\ (1;\,5)\).
Правильный ответ: (-1;5);(1;5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.
По течению: x + 4. Против течения: x − 4.
Шаг 2. Составляем уравнение:
210/(x+4) + 9 + 210/(x−4) = 27.
Шаг 3. Переносим стоянку: 210/(x+4) + 210/(x−4) = 18.
Шаг 4. Умножаем на (x+4)(x−4) = x²−16:
210(x−4) + 210(x+4) = 18(x²−16).
Шаг 5. Левая часть: 2·210·x = 420x. Квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 24.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{15}{2}\) + 9 + \(\frac{21}{2}\) = 27. ✓
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+1,\ x\ne -2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2; 2; 2,5 \).
Ответ: \( -2; 2; 2,5 \).
Правильный ответ: -2; 2; 2,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 77, BC = 14, CF : DF = 7 : 2.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 7:2 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 7:2 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (2·14 + 7·77) / (7+2).
Шаг 3. EF = (28 + 539) / 9 = 567 / 9 = 63.
Ответ: 63.
Правильный ответ: 63
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка I равноудалена от A и B
⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.
Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−18, 0), D = (18, 0) (|AD| = 36).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (36, h). На прямой BE точка E = (0, 36 − h), так как BE = 36.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{36}{4}\) = 27.
Шаг 5. AB = √(h² + (18)²) = √(729 + 324) = 9√13;
BC = 2·AB = 18√13; CA = 27√5.
Ответ: 9√13; 18√13; 27√5.
Правильный ответ: 9√13; 18√13; 27√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.