Загрузка заданий...
Вариант 670 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
| Мобильный интернет | 1,5 ГБ | 2 ГБ | 3,75 ГБ | 1 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
Разбор: Тарифы →
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
Разбор: Тарифы →
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 460 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 130 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,15 + 4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,15 + 4\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,15) + 4 = 4,15\).
Ответ: \(4,15\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 5 < a < 6.
Проверим варианты ответа:
1) a > 6 ⇔ a > 6 — неверно.
2) a - 5 > 0 ⇔ a > 5 — верно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5^{-2} \cdot (5^2)^3$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5^(-2) · (5^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^2)^3 = 5^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-2 · 5^6 = 5^4.
Получаем 5^4 = 625.
Ответ: 625.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-8}{x - 5} = 4$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -8/(x - 5) = 4
Область допустимых значений: x != 5.
Умножим обе части уравнения на x - 5:
-8 = 4(x - 5)
Раскроем скобки:
-8 = 4x - 20
Перенесём число в левую часть:
12 = 4x
x = 12 / 4
x = 3
Проверка ОДЗ: x = 3, x != 5, условие выполняется.
Ответ: 3
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(A \cup B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего исходов: 32. Вероятность события \(A \cup B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=18/32=0,5625\).
Ответ: 0,5625
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 10 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 10 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·10 = 47000.
Ответ: 47 000.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 6)(x - 5) > 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -6 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 5) > 0 получаем решение (-∞;-6) ∪ (5;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 32 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (36 - 32) / (8 - 6) = 2.
Тогда первый ряд: a₁ = a6 - (6 - 1)·d = 32 - 5·2 = 22.
Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 22 + 18·2 = 58.
Ответ: 58.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 7 · 12 = \(\frac{84}{2}\) = 42.
Ответ: 42.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 134°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 41°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 134° - 41° = 93°.
Ответ: 93.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.
Биссектриса делит угол A пополам.
Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 15° = 30°.
Ответ: 30.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=6: t=(8−6)/(8−2)=\(\frac{1}{3}\). x_A=1+\(\frac{1}{3}\)·3=2, x_B=4+\(\frac{2}{3}\)·3=6. AB=6−2=4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2-2x=y,\\3x-2=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба выражения равны \(y\) — приравниваем их между собой.
Шаг 1. Из системы следует \(3x^2-2x=3x-2\).
Шаг 2. Переносим всё в левую часть:
\(3x^2-2x-3x+2=0\Rightarrow 3x^2-5x+2=0\).
Шаг 3. Дискриминант: \(D=25-24=1\), \(\sqrt{D}=1\).
\(x_1=\dfrac{5+1}{6}=1,\quad x_2=\dfrac{5-1}{6}=\dfrac{2}{3}\).
Шаг 4. Находим \(y\) для каждого \(x\):
При \(x=1\): \(y=3\cdot1-2=1\).
При \(x=\dfrac{2}{3}\): \(y=3\cdot\dfrac{2}{3}-2=0\).
Ответ: \(\left(\dfrac{2}{3};\,0\right);\ (1;\,1)\).
Правильный ответ: (2/3;0);(1;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.
Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 3 км/ч.
Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 51 км.
Время плота в пути: 51 / 3 = 17 ч.
Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:
17 − 1 = 16 ч.
Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:
140/(x+3) + 140/(x−3) = 16.
Шаг 5. Умножаем на (x+3)(x−3) и упрощаем: квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение: x = 18.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{20}{3}\) + \(\frac{28}{3}\) = 16. ✓
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{2x+5}{2x^2+5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5/2 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-5/2 \), откуда \( k=4/25 \).
Ответ: \(\frac{4}{25}\).
Правильный ответ: 4/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.
Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).
Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.
Шаг 2. AB = BK = 7.
Шаг 3. BC = BK + CK = 7 + 10 = 17.
Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(7 + 17) = 48.
Ответ: 48.
Правильный ответ: 48
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высоты из E до противоположных сторон в сумме дают высоту параллелограмма.
Шаг 1. Пусть h₁ — расстояние от E до BC, h₂ — до AD. Тогда h₁ + h₂ = h (высота параллелограмма).
Шаг 2. S(BEC) = BC·h₁/2; S(AED) = AD·h₂/2.
Так как BC = AD (параллелограмм): S(BEC)+S(AED) = AD·(h₁+h₂)/2 = AD·h/2 = S(ABCD)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 5 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 9. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 5 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 13 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).
Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.
Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·5 = 10.
Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).
Площадь = BC · h = ... = 420.
Ответ: 420.
Правильный ответ: 420
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.