Загрузка заданий...
Вариант 681 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1 ГБ, 3 ГБ, 3,25 ГБ, 1,5 ГБ.
| Мобильный интернет | 1 ГБ | 3 ГБ | 3,25 ГБ | 1,5 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в феврале?
Решение
Разбор: Тарифы →
В феврале минуты не превышают пакет, а интернет превышает пакет на 0,5 ГБ. Доплата за 0,5 ГБ равна 90 руб. Итого: 350 + 90 = 440 руб. Ответ: 440.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит по пакету мобильного интернета?
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в феврале по сравнению с январём 2019 года?
Решение
Разбор: Тарифы →
В январе 2,5 ГБ, в феврале 3,5 ГБ. Увеличение: 3,5 − 2,5 = 1 ГБ. Процент увеличения: 1 : 2,5 · 100% = 40%. Ответ: 40.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 440 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 180 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф оказался выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 440 руб. Ответ: 440.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,001 + 0,125$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,001 + 0,125\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,001) + 0,125 = 0,126\).
Ответ: \(0,126\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -1 и 0.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-46}{13}\) ≈ -3,5385
2) -0,571 ≈ -0,571
3) 1,6 ≈ 1,6
4) \(\frac{\sqrt{28}}{2}\) ≈ 2,6458
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√7 - 5)(√7 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√7)² - 5² = 7 - 25 = -18.
Ответ: -18.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x + 7y = -21 \\ -4x - 7y = 35 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
6x + 7y = -21
-4x - 7y = 35
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -4, а второе — на 6.
Получим:
\((6x + 7y = -21) \cdot -4\): -24x - 28y = 84
\((-4x - 7y = 35) \cdot 6\): -24x - 42y = 210
Вычтем второе уравнение из первого:
14y = -126
y = -126 / 14 = -9
Подставим y = -9 в первое уравнение:
6x + 7y = -21
Получаем x = 7.
Ответ: (7;-9)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cup B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,45.
Ответ: 0,45
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = -3x - 4\)
2) \(y = -x + 3\)
3) \(y = 2x - 4\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 50 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 9 800 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 9 800/(9,8·50) = 20.
Ответ: 20.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 3)(x - 4) ≤ 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -3 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 4) <= 0 получаем решение [-3;4]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 16, d = -5.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 4.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 4·(16 + 1)/2 = 34.
Ответ: 34.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 24, AB = 25. Найдите sin B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{24}{25}\) = 0,96.
Ответ: 0,96.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.
r = (16√3 · √3) / 6 = \(\frac{48}{6}\) = 8.
Ответ: 8.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 29° и 80°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.
Искомый угол равен 180° - 29° - 80° = 71°.
Ответ: 71.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 9 и 3.
Искомое отношение площадей равно (9 / 3)² = 9.
Ответ: 9.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: тупым может быть только один угол.
3) Верно.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2+y=12,\\9x^2-y=2.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((5x^2+y)+(9x^2-y)=12+2\Rightarrow 14x^2=14\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=12-5x^2=12-5=7\).
Ответ: \((-1;\,7);\ (1;\,7)\).
Правильный ответ: (-1;7);(1;7)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 26%. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 72% воды, значит сухого вещества 28%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 222 кг свежих фруктов:
222 · 28/100 = 62,16 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 26% воды, значит сухого вещества 74%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,74·x = 62,16.
x = 62,16 / 0,74 = 84 кг.
Ответ: 84.
Правильный ответ: 84
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+0,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-1; 1; 1,25 \).
Ответ: \( -1; 1; 1,25 \).
Правильный ответ: -1; 1; 1,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD = 30.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 30 · sin135°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 30 · sin135°.
AB = 30 · sin135°/sin60° (здесь sin135°/sin60° = √\(\frac{6}{3}\)).
AB = 10√6.
Ответ: 10√6.
Правильный ответ: 10√6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 15² = 225, AD·BC = 28·4 = 112.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.