Загрузка заданий...

Вариант 689 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1 ГБ, 3 ГБ, 3,25 ГБ, 1,5 ГБ.

Мобильный интернет	1 ГБ	3 ГБ	3,25 ГБ	1,5 ГБ
Номер месяца

Решение

Разбор: Тарифы →

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 76108.

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в феврале?

Решение

Разбор: Тарифы →

В феврале минуты не превышают пакет, а интернет превышает пакет на 0,5 ГБ. Доплата за 0,5 ГБ равна 90 руб. Итого: 350 + 90 = 440 руб. Ответ: 440.

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит по пакету мобильного интернета?

Решение

Разбор: Тарифы →

По пунктирному графику лимит 3 ГБ превышен в четырёх месяцах. Ответ: 4.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в феврале по сравнению с январём 2019 года?

Решение

Разбор: Тарифы →

В январе 2,5 ГБ, в феврале 3,5 ГБ. Увеличение: 3,5 − 2,5 = 1 ГБ. Процент увеличения: 1 : 2,5 · 100% = 40%. Ответ: 40.

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	440 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	120 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	180 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

Разбор: Тарифы →

По расчётам за год новый тариф оказался выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 440 руб. Ответ: 440.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,3 : \frac{3}{20}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,3 : \frac{3}{20}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,3) : \frac{3}{20} = 2$.

Получили результат $2$.

Ответ: $2$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > 4

a < 4

$\frac{1}{a} < 0$

-a < -5

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) a > 4 ⇔ a > 4 — верно.

2) a < 4 ⇔ a < 4 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) -a < -5 ⇔ a > 5 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(3\sqrt{5})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (3√5)².

Используем свойство степени произведения: (3√5)² = 3² · (√5)².

Получаем 9 · 5 = 45.

Ответ: 45.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{4}{x - 1} = 4$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: 4/(x - 1) = 4

Область допустимых значений: x != 1.

Умножим обе части уравнения на x - 1:

4 = 4(x - 1)

Раскроем скобки:

4 = 4x - 4

Перенесём число в левую часть:

8 = 4x

x = 8 / 4

x = 2

Проверка ОДЗ: x = 2, x != 1, условие выполняется.

Ответ: 2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события A.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,4.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.

C = 6500 + 4000·14 = 62500.

Ответ: 62 500.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} -1,8 − 4x \leqslant 9,8 \\ x − 0,5 > -2,7 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-2,2;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 22 мест, а в седьмом ряду 25 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (25 - 22) / (7 - 4) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 22 - 3·1 = 19.

Последний ряд: a18 = a₁ + (18 - 1)·d = 19 + 17·1 = 36.

Ответ: 36.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, AB = 5. Найдите sin B.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.

sin B = AC / AB = $\frac{4}{5}$ = 0,8.

Ответ: 0,8.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 86°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 86° = 94°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 94° / 2 = 47°.

Ответ: 47.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 8.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна средней линии.

При угле 45° вертикальная и горизонтальная проекции равны.

Следовательно, высота равна средней линии: (3 + 8) / 2 = 5,5.

Ответ: 5,5.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 4 и 3.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Ответ: 5.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $18a-2b+16$, если $\dfrac{3a-7b+6}{7a-3b+6}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $18a-2b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-7b+6 = 3(7a-3b+6)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-7b+6 = 21a-9b+18$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 18a-2b+12$, откуда $18a-2b = -12$.

Шаг 4. Вычисляем: $18a-2b+16 = -12+16 = 4$.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 341 кг свежих фруктов:

341 · 14/100 = 47,74 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 47,74.

x = 47,74 / 0,77 = 62 кг.

Ответ: 62.

Правильный ответ: 62

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 7\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 7.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 7.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 7.

Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 10 и 26. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(26² − 10²) = √576 = 24.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 10·$\frac{24}{2}$ = 120.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 26 и высоту h к ней: S = 26·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 10·$\frac{24}{26}$ = 120/13.

Ответ: 120/13.

Правильный ответ: 120/13

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 12 и CD = 30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.

Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.

По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.

⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.

Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).

α + β = 60°.

Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.

AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.

Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).

При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.

AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).

Шаг 5. 12² + 30² + 12·30 = 3R².

1404 = 3R² ⟹ R² = 1404/3.

R = 6√13.

Ответ: 6√13.

Правильный ответ: 6√13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.