Загрузка заданий...
Вариант 701 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
| Мобильный интернет | 2 ГБ | 2,5 ГБ | 4 ГБ | 3,5 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
Разбор: Тарифы →
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
Разбор: Тарифы →
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 430 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 180 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} : 0,02$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{5} : 0,02\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{5}) : 0,02 = 10\).
Получили результат \(10\).
Ответ: \(10\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число \(\frac{\sqrt{7}}{2}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{\sqrt{7}}{2}\) по своему значению совпадает с точкой D.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^2)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^4 = 7^1.
Получаем 7^1 = 7.
Ответ: 7.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 9x + 20 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 + 9x + 20 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 9, c = 20.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 9² - 4·1·20 = 1.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-9 - √1) / 2 = -5
x₂ = (-9 + √1) / 2 = -4
Ответ: -5;-4
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Олег не выучил 33 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 17 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{17}{50}\) = 0,34.
Ответ: 0,34.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 13-минутной поездки.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t = 13 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(13 − 5) = 238.
Ответ: 238.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-3x - 9 < -7x - 3
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -3x - 9 < -7x - 3.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x < 6.
Делим обе части на 4: x < 1,5.
Значит, x меньше 1,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;1,5).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 3, n = 15.
Сначала найдём последний ряд: a15 = 17 + (15 - 1)·3 = 59.
Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(17 + 59)/2 = 570.
Ответ: 570.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 30, AB = 40. Найдите cos B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{30}{40}\) = 0,75.
Ответ: 0,75.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.
Поэтому радиус равен половине стороны: r = 24 / 2 = 12.
Ответ: 12.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 126°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.
Следовательно, искомый угол равен 126° / 2 = 63°.
Ответ: 63.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 5.
Искомое отношение площадей равно (10 / 5)² = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: тупым может быть только один угол.
3) Верно.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(21a-6b+28\), если \(\dfrac{3a-6b+5}{6a-3b+5}=4\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(21a-6b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(3a-6b+5 = 4(6a-3b+5)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(3a-6b+5 = 24a-12b+20\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 21a-6b+15\), откуда \(21a-6b = -15\).
Шаг 4. Вычисляем: \(21a-6b+28 = -15+28 = 13\).
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:
105/x − 105/(x+16) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+16):
105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).
1680 = 4·x² + 64·x.
4x² + 64x − 1680 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.
x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = \(\frac{15}{2}\) мин, вторая — 105/30 = \(\frac{7}{2}\) мин.
\(\frac{15}{2}\) − \(\frac{7}{2}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2-2x+2,& x\ge -3,\\-x-2,& x<-3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: [-1;1]∪{3}.
Ответ: [-1;1]∪{3}.
Правильный ответ: [-1;1]∪{3}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 1. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 24 + 1 = 25.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 25 и катетом DH = 24.
Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(25² − 24²) = √(49) = 7.
Ответ: 7.
Правильный ответ: 7
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 80 ⟹ a+b = 40.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·320/40 = 16.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=40 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=16:
a = 8, b = 32.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 16·\(\frac{8}{40}\) = 3,2.
Ответ: 3,2.
Правильный ответ: 3,2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.