Загрузка заданий...
Вариант 198 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$1 \cdot 40 \cdot 3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(1 \cdot 40 \cdot 3\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((1) \cdot 40 = 40\).
Шаг 2: \((40) \cdot 3 = 120\).
Ответ: \(120\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3,95 ≈ -3,95
2) \(\frac{-2}{3}\) ≈ -0,6667
3) \(\frac{\sqrt{8}}{2}\) ≈ 1,4142
4) \(\frac{19}{6}\) ≈ 3,1667
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{10})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (4√10)².
Используем свойство степени произведения: (4√10)² = 4² · (√10)².
Получаем 16 · 10 = 160.
Ответ: 160.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 3x - 4 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 + 3x - 4 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 3, c = -4.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 3² - 4·1·-4 = 25.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-3 - √25) / 2 = -4
x₂ = (-3 + √25) / 2 = 1
Ответ: -4;1
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 8 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 100.
Благоприятных исходов: 92 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 92/100 = 0,92.
Ответ: 0,92.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 423,5 Вт, а сила тока равна 5,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 423,5/(5,5²) = 14.
Ответ: 14.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 < 25
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² < 25 получаем границы x = ±5. Верное решение: (-5;5). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 10 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 10, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 10·3^4 = 810 мг.
Ответ: 810.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Высота равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 9√3.
Отсюда a / 2 = 9, значит a = 18.
Ответ: 18.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.
r = (12√3 · √3) / 6 = \(\frac{36}{6}\) = 6.
Ответ: 6.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 25°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.
Следовательно, угол A равен 45° + 25° = 70°.
Больший угол параллелограмма равен 180° - 70° = 110°.
Ответ: 110.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M лежит на AC. По клеткам: AM=2, MC=8. MC=4·AM.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: по определению окружности.
2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}9x^2-14x=y,\\9x-14=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба выражения равны \(y\) — приравниваем их.
Шаг 1. Приравниваем правые части: \(9x^2-14x=9x-14\).
Шаг 2. Переносим влево: \(9x^2-23x+14=0\).
Шаг 3. Разложим: \((9x-14)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{14}{9}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{14}{9}\): \(y=9\cdot\dfrac{14}{9}-14=0\).
При \(x=1\): \(y=9-14=-5\).
Ответ: \(\left(\dfrac{14}{9};\,0\right);\ (1;\,-5)\).
Правильный ответ: (14/9;0);(1;-5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 216/x ч, вторым — 216/(x−9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
216/(x−9) − 216/x = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x−9):
216·x − 216·(x−9) = 4·x·(x−9).
1944 = 4·x² − 36·x.
4x² − 36x − 1944 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.
x = (36 + 180) / (2·4) = 27 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — 216/27 = 8 ч, второй — 216/18 = 12 ч.
12 − 8 = 4 = 4. ✓
Ответ: 27.
Правильный ответ: 27
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-7,25; -5; 5 \).
Ответ: \( -7,25; -5; 5 \).
Правильный ответ: -7,25; -5; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 10, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 5.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 12² + (AB/2)² = 12² + 5² = 169. R = 13.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 5 от центра:
(CD/2)² = R² − 5² = 169 − 25 = 144.
CD/2 = 12.
Шаг 3. CD = 2 · 12 = 24.
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 3 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 4. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 3 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 5 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).
Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.
Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·3 = 6.
Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).
Площадь = BC · h = ... = 168.
Ответ: 168.
Правильный ответ: 168
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.