Загрузка заданий...
Вариант 205 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
| Мобильный интернет | 1,5 ГБ | 2 ГБ | 3,75 ГБ | 1 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
Разбор: Тарифы →
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
Разбор: Тарифы →
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
Разбор: Тарифы →
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 460 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 130 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
Разбор: Тарифы →
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{6}{5} + \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{6}{5} + \frac{3}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{6}{5}) + \frac{3}{4} = \frac{39}{20}\).
Получили дробь \(\frac{39}{20}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,95\).
Ответ: \(1,95\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 3 и 4.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-3}{2}\) ≈ -1,5
2) \(\frac{3}{8}\) ≈ 0,375
3) \(\sqrt{13}\) ≈ 3,6056
4) 3,84 ≈ 3,84
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3^{-3} \cdot (3^3)^3$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 3^(-3) · (3^3)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^3)^3 = 3^9.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-3 · 3^9 = 3^6.
Получаем 3^6 = 729.
Ответ: 729.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 7x + 11 = 18
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 7x + 11 = 18
Перенесём 11 в правую часть:
7x = 18 - 11
7x = 7
Разделим обе части на 7:
x = 7 / 7
x = 1
Ответ: 1
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 17 чёрных, 4 жёлтых и 19 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 4 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{4}{40}\) = 0,1.
Ответ: 0,1.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 686 Вт, а сила тока равна 7 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 686/(7²) = 14.
Ответ: 14.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 2)(x - 3) > 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -2 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 3) > 0 получаем решение (-∞;-2) ∪ (3;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 3, q = 3.
За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 3·3^3 = 81 мг.
Ответ: 81.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 10, sin ∠ABC = 8/15. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 12 · 10 · \(\frac{8}{15}\) = 960/30 = 32.
Ответ: 32.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 25. Найдите AC, если BC = 48.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.
Поэтому AB = 2R = 50.
Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.
По теореме Пифагора находим неизвестный катет.
Ответ: 14.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов параллелограмма равен 74°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 74° = 106°.
Ответ: 106.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(7−5)/(7−1)=\(\frac{1}{3}\). x_A=1+\(\frac{1}{3}\)·3=2, x_B=4+\(\frac{2}{3}\)·3=6. AB=4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(62a-2b+27\), если \(\dfrac{a-7b+3}{7a-b+3}=9\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(62a-2b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(a-7b+3 = 9(7a-b+3)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(a-7b+3 = 63a-9b+27\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 62a-2b+24\), откуда \(62a-2b = -24\).
Шаг 4. Вычисляем: \(62a-2b+27 = -24+27 = 3\).
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 216/x ч, вторым — 216/(x−9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
216/(x−9) − 216/x = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x−9):
216·x − 216·(x−9) = 4·x·(x−9).
1944 = 4·x² − 36·x.
4x² − 36x − 1944 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.
x = (36 + 180) / (2·4) = 27 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — 216/27 = 8 ч, второй — 216/18 = 12 ч.
12 − 8 = 4 = 4. ✓
Ответ: 27.
Правильный ответ: 27
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 3.
Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD = 58.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 58 · sin150°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 58 · sin150°.
AB = 58 · sin150°/sin45° (здесь sin150°/sin45° = √\(\frac{2}{2}\)).
AB = 29√2.
Ответ: 29√2.
Правильный ответ: 29√2
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 129° − 90° = 39°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 96° − 90° = 6°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 39° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 6° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 6° = 84°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 84° − 39° = 45°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(45°) = 8 / sin(45°) = 8√2.
Ответ: 8√2.
Правильный ответ: 8√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.