Загрузка заданий...
Вариант 204 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{20} \cdot 0,5 + \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{20} \cdot 0,5 + \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{20}) \cdot 0,5 = 0,175\).
Шаг 2: \((0,175) + \frac{1}{5} = 0,375\).
Получили результат \(0,375\).
Ответ: \(0,375\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел \(\frac{-7}{3}\), \(\frac{\sqrt{15}}{2}\), 2,45, \(\sqrt{17}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-7}{3}\) ≈ -2,3333
2) \(\frac{\sqrt{15}}{2}\) ≈ 1,9365
3) 2,45 ≈ 2,45
4) \(\sqrt{17}\) ≈ 4,1231
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{7} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 2√7 · 6√3 · √21.
Перемножим коэффициенты: 2 · 6 = 12.
Подкоренные выражения дают: √7 · √3 · √21 = √(7·3·21) = √(441) = 21.
Тогда всё выражение равно 12 · 21 = 252.
Ответ: 252.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(x + 9)}{3} - \frac{(x - 5)}{2} - 2x = 25$$
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: (x + 9)/3 - (x - 5)/2 - 2x = 25
Домножим обе части на НОК знаменателей 3 и 2, то есть на 6.
Получим:
(2x + 18) - (3x - 15) - 12x = 150
Приведём подобные слагаемые:
-13x + 33 = 150
Перенесём число в правую часть:
-13x = 117
Разделим обе части на -13:
x = 117 / -13
x = -9
Ответ: -9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.125 и 0.875: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.1, по нижнему 0.7.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.125 · 0.1 = 0.0125.
Нижний путь: 0.875 · 0.7 = 0.6125.
Складываем: 0.0125 + 0.6125 = 0.625.
Ответ: 0,625
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = x + 4\)
2) \(y = -\dfrac{1}{2}x - 4\)
3) \(y = -2x - 2\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·14 = 62500.
Ответ: 62 500.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 1,8 − 2x \leqslant 11,8 \\ x + 1,4 > -1,6 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-3;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 3, q = 3.
За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 3·3^3 = 81 мг.
Ответ: 81.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = 18² + 24² = 324 + 576 = 900.
Значит, c = 30.
Ответ: 30.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 32.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 32 = 64.
S = a² = 64² = 4096.
Ответ: 4096.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 10 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 19 / 2 = 9,5.
Ответ: 9,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(8−5)/(8−2)=\(\frac{1}{2}\). x_A=1+\(\frac{1}{2}\)·3=2,5, x_B=4+\(\frac{1}{2}\)·3=5,5. AB=3.
Ответ: 3.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 2 — левые части станут одинаковыми.
Шаг 1. Умножаем первое на 2: \(10x^2+2y^2=72\).
Шаг 2. По второму уравнению: \(10x^2+2y^2=36x\).
Шаг 3. Левые части равны — приравниваем правые:
\(72=36x\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. Подставляем \(x=2\) в первое уравнение:
\(5\cdot4+y^2=36\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4\).
Ответ: \((2;\,-4);\ (2;\,4)\).
Правильный ответ: (2;-4);(2;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 112/x ч, первым — 112/(x+9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
112/x − 112/(x+9) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+9):
112·(x+9) − 112·x = 4·x·(x+9).
1008 = 4·x² + 36·x.
4x² + 36x − 1008 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1008 = 1296 + 16128 = 17424, √D = 132.
x = (−36 + 132) / (2·4) = 12 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 112/12 = \(\frac{28}{3}\) ч, первый — 112/21 = \(\frac{16}{3}\) ч.
\(\frac{28}{3}\) − \(\frac{16}{3}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+1,\ x\ne -2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2; 2; 2,5 \).
Ответ: \( -2; 2; 2,5 \).
Правильный ответ: -2; 2; 2,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(20² + 15²) = √625 = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что отрезки BK и DM равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.
Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).
Шаг 2. Прямая через O пересекает BC в точке K и AD в точке M.
Центральная симметрия переводит BC в AD и K в M (так как O — центр).
Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит BK = DM. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 19 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 19. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).
Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.
Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.
Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).
Площадь = BC · h = ... = 728.
Ответ: 728.
Правильный ответ: 728
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.