Загрузка заданий...

Вариант 2707 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

Разбор: Печь для бани →

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$8 : 0,5 + 15$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $8 : 0,5 + 15$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(8) : 0,5 = 16$.

Шаг 2: $(16) + 15 = 31$.

Ответ: $31$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-7}{4}$

0,8

$\frac{5}{3}$

$\sqrt{24}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 0 и 1.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-7}{4}$ ≈ -1,75

2) 0,8 ≈ 0,8

3) $\frac{5}{3}$ ≈ 1,6667

4) $\sqrt{24}$ ≈ 4,899

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{10} - 4)(\sqrt{10} + 4)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√10 - 4)(√10 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√10)² - 4² = 10 - 16 = -6.

Ответ: -6.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 7x - 4y = 10 \\ -6x + 4y = -8 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

7x - 4y = 10

-6x + 4y = -8

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 7.

Получим:

$(7x - 4y = 10) \cdot -6$: -42x + 24y = -60

$(-6x + 4y = -8) \cdot 7$: -42x + 28y = -56

Вычтем второе уравнение из первого:

-4y = -4

y = -4 / -4 = 1

Подставим y = 1 в первое уравнение:

7x - 4y = 10

Получаем x = 2.

Ответ: (2;1)

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{5}{3}x - 1$

Б) $y = \dfrac{1}{x}$

В) $y = -x^2 + 2x + 3$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 50 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_C = 50 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(50) + 32 = 122.

Ответ: 122.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-5x + 4 ≤ -4x + 9

(-∞;5]

[-5;+∞)

[0;+∞)

(-∞;-5]

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -5x + 4 <= -4x + 9.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x >= 5.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -1: x >= -5.

Значит, x больше или равно -5.

Этому соответствует промежуток [-5;+∞).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 2, n = 11.

Сначала найдём последний ряд: a11 = 17 + (11 - 1)·2 = 37.

Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(17 + 37)/2 = 297.

Ответ: 297.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 2/5, AB = 10. Найдите BC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 10 · $\frac{2}{5}$ = 4.

Ответ: 4.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 9, CD = 14. Найдите AD.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 12 + 14 - 9 = 17.

Ответ: 17.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 60 / 4 = 15, h₂ = 60 / 20 = 3.

Требуемая высота равна 15.

Ответ: 15.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

Ответ: 15.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.

2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.

3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-14}{(x-5)^2-2}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-14<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x-5)^2-2<0$.

Шаг 2. $(x-5)^2<2$.

Шаг 3. $-\sqrt{2}<x-5<\sqrt{2}$.

Шаг 4. Прибавляем 5: $5-\sqrt{2}<x<5+\sqrt{2}$.

Ответ: $(5-\sqrt{2};\; 5+\sqrt{2})$.

Правильный ответ: (5-√2;5+√2)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 200/x ч, вторым — 200/(x−5) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 2 ч больше:

200/(x−5) − 200/x = 2.

Шаг 4. Умножаем на x(x−5):

200·x − 200·(x−5) = 2·x·(x−5).

1000 = 2·x² − 10·x.

2x² − 10x − 1000 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·2·1000 = 100 + 8000 = 8100, √D = 90.

x = (10 + 90) / (2·2) = 25 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 200/25 = 8 ч, второй — 200/20 = 10 ч.

10 − 8 = 2 = 2. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}2{,}5x-1,& x<2,\\-3{,}5x+11,& 2\le x\le 3,\\x-1,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: [0,5;2]∪{4}.

Ответ: [0,5;2]∪{4}.

Правильный ответ: [0,5;2]∪{4}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 6 · 24 = 144.

Шаг 3. AB = √144 = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).

Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).

Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.

Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 86° и 4°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 2. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 86° + 4° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 14 и 2.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 14 и (b-a)/2 = 2 (или наоборот).

a+b = 28, b-a = 4.

b = 16, a = 12.

Ответ: 12; 16.

Правильный ответ: 12; 16

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.