Загрузка заданий...
Вариант 2716 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{8} + 0,1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{8} + 0,1\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{8}) + 0,1 = 0,225\).
Получили результат \(0,225\).
Ответ: \(0,225\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -3,716, \(\frac{-5}{2}\), 0,42, \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3,716 ≈ -3,716
2) \(\frac{-5}{2}\) ≈ -2,5
3) 0,42 ≈ 0,42
4) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ≈ 0,866
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{7} \cdot \sqrt{14}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4√2 · 6√7 · √14.
Перемножим коэффициенты: 4 · 6 = 24.
Подкоренные выражения дают: √2 · √7 · √14 = √(2·7·14) = √(196) = 14.
Тогда всё выражение равно 24 · 14 = 336.
Ответ: 336.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x - 6y = -78 \\ -5x - y = -38 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-5x - 6y = -78
-5x - y = -38
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -5, а второе — на -5.
Получим:
\((-5x - 6y = -78) \cdot -5\): 25x + 30y = 390
\((-5x - y = -38) \cdot -5\): 25x + 5y = 190
Вычтем второе уравнение из первого:
25y = 200
y = 200 / 25 = 8
Подставим y = 8 в первое уравнение:
-5x - 6y = -78
Получаем x = 6.
Ответ: (6;8)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cap B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,25.
Ответ: 0,25
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = 2x - 2\)
Б) \(y = 3x - 2\)
В) \(y = \dfrac{1}{2}x - 3\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 14 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 14 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·14 = 62500.
Ответ: 62 500.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-3x + 7 ≤ -8x + 3
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -3x + 7 <= -8x + 3.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x <= -4.
Делим обе части на 5: x <= -0,8.
Значит, x меньше или равно -0,8.
Этому соответствует промежуток (-∞;-0,8].
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 2.
Найдём 9-й член: a9 = a₁ + (9 - 1)·d = 17 + 8·2 = 33.
Ответ: 33.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 56° и BM = AM = MC.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Из условия BM = AM = MC.
Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.
Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 56°.
Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·56° = 68°.
Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 68° = 112°.
В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.
Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 112° = 180°.
Отсюда x = 90° - 56° = 34°.
Ответ: 34.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 14√3 · √3 / 3 = \(\frac{42}{3}\) = 14.
Ответ: 14.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Острый угол равен 48°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.
Тупой угол ромба равен 180° - 48° = 132°.
Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 132° / 2 = 66°.
Ответ: 66.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 8 и 10.
S = 8 · 10 / 2 = 40.
Ответ: 40.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: не каждая биссектриса.
2) Верно.
3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}7x^2-5x=y,\\7x-5=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(7x^2-5x=7x-5\).
Шаг 2. Переносим влево: \(7x^2-12x+5=0\).
Шаг 3. Разложим: \((7x-5)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{5}{7}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{5}{7}\): \(y=7\cdot\dfrac{5}{7}-5=0\).
При \(x=1\): \(y=7-5=2\).
Ответ: \(\left(\dfrac{5}{7};\,0\right);\ (1;\,2)\).
Правильный ответ: (5/7;0);(1;2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение:
216/(x+5) + 5 + 216/(x−5) = 23.
Шаг 3. Переносим стоянку: 216/(x+5) + 216/(x−5) = 18.
Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
216(x−5) + 216(x+5) = 18(x²−25).
Шаг 5. Левая часть: 2·216·x = 432x. Квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 25.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{36}{5}\) + 5 + \(\frac{54}{5}\) = 23. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{3x+5}{3x^2+5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5/3 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-5/3 \), откуда \( k=9/25 \).
Ответ: \(\frac{9}{25}\).
Правильный ответ: 9/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 67° и 83°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.
Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 67° − 83° = 30°.
Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·17·(\(\frac{1}{2}\)) = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка E равноудалена от C и D
⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.
Следовательно, EF ⟂ CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 10 и 4. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 80° + 10° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 10 и 4.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 10 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).
a+b = 20, b-a = 8.
b = 14, a = 6.
Ответ: 6; 14.
Правильный ответ: 6; 14
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.