Загрузка заданий...
Вариант 2777 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} \cdot \frac{7}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{1} \cdot \frac{7}{8}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{1}) \cdot \frac{7}{8} = \frac{21}{8}\).
Получили дробь \(\frac{21}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,625\).
Ответ: \(2,625\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) -3 - a > 0 ⇔ a < -3 — верно.
2) a < -4 ⇔ a < -4 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
4) -a < 3 ⇔ a > -3 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4^{-3} \cdot (4^2)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4^(-3) · (4^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-3 · 4^4 = 4^1.
Получаем 4^1 = 4.
Ответ: 4.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 5} = -6$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -6/(x - 5) = -6
Область допустимых значений: x != 5.
Умножим обе части уравнения на x - 5:
-6 = -6(x - 5)
Раскроем скобки:
-6 = -6x + 30
Перенесём число в левую часть:
-36 = -6x
x = -36 / -6
x = 6
Проверка ОДЗ: x = 6, x != 5, условие выполняется.
Ответ: 6
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 60 билетов, Егор не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 60.
Благоприятных исходов: 57 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{57}{60}\) = 0,95.
Ответ: 0,95.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = -3x - 4\)
Б) \(y = 3x - 4\)
В) \(y = -3x + 2\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 4 с-1, а центростремительное ускорение равно 32 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 32/(4²) = 2.
Ответ: 2.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 9)(x - 6) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -9 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 6) <= 0 получаем решение [-9;6]. Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 54 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 54 минут пройдёт 6 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 400·(\(\frac{1}{2}\))^6 = 6,25 мг.
Ответ: 6,25.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 86°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Биссектриса делит угол пополам.
Поэтому ∠BAD = 86° : 2 = 43°.
Ответ: 43.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 14, BC = 20, CD = 11. Найдите AD.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
То есть AB + CD = BC + AD.
AD = AB + CD - BC = 14 + 11 - 20 = 5.
Ответ: 5.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.
Биссектриса делит угол A пополам.
Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 15° = 30°.
Ответ: 30.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 6 и 2.
Искомое отношение площадей равно (6 / 2)² = 9.
Ответ: 9.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Верно: диагонали любого параллелограмма, а значит и ромба, делятся пополам.
3) Неверно: такие прямые параллельны.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-6)^2<\sqrt{10}(x-6)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-6)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-6)^2-\sqrt{10}(x-6)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-6)\bigl[(x-6)-\sqrt{10}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=6\) и \(x=6+\sqrt{10}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((6;\; 6+\sqrt{10})\).
Правильный ответ: (6;6+√10)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения.
Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 2) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 2 ч раньше:
224/x − 224/(x+2) = 2.
Шаг 3. Умножаем на x·(x+2):
224·2 = 2·x·(x+2).
Шаг 4. Квадратное уравнение: 2x² + 4x − 448 = 0.
Шаг 5. D = 3600, √D = 60.
x = (−4 + 60) / (2·2) = 14 (скорость второго).
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| - 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x - 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x - 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -4.
Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: -4.
Правильный ответ: -4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 12, AC = 24, NC = 6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{12}{24}\) = \(\frac{1}{2}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{1}{2}\), то есть BN = 1·BC/2.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 6.
Подставляем: BN = 1·(BN + 6)/2.
2·BN = 1·BN + 1·6.
(2−1)·BN = 6 ⟹ BN = 6/(2−1) = 6.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y
⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.
Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.
Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 72, MD = 18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 72 − 18 = 54.
AM² = 2916.
AH = AM² / AD = 2916 / 72 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 72 − 324/72 = 67,5.
Ответ: 67,5.
Правильный ответ: 67,5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.