Загрузка заданий...
Вариант 2914 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{8}{5}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{5}\).
Получили дробь \(\frac{12}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,4\).
Ответ: \(2,4\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше -3,5, но меньше \(\frac{1}{4}\).
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -3,5 и \(\frac{1}{4}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (\(-\frac{57}{20}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 3√3 · 6√2 · √6.
Перемножим коэффициенты: 3 · 6 = 18.
Подкоренные выражения дают: √3 · √2 · √6 = √(3·2·6) = √(36) = 6.
Тогда всё выражение равно 18 · 6 = 108.
Ответ: 108.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(-3x + 2)}{3} - \frac{(-6x + 8)}{3} + 5x = -56$$
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: (-3x + 2)/3 - (-6x + 8)/3 + 5x = -56
Домножим обе части на НОК знаменателей 3 и 3, то есть на 3.
Получим:
(-3x + 2) - (-6x + 8) + 15x = -168
Приведём подобные слагаемые:
18x - 6 = -168
Перенесём число в правую часть:
18x = -162
Разделим обе части на 18:
x = -162 / 18
x = -9
Ответ: -9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.65 и 0.35: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.7, по нижнему 0.75.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.65 · 0.7 = 0.455.
Нижний путь: 0.35 · 0.75 = 0.2625.
Складываем: 0.455 + 0.2625 = 0.7175.
Ответ: 0,7175
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = 2x - 4\)
Б) \(y = x^2 - 4\)
В) \(y = \sqrt{x}\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 13 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 13 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·13² / 2 = 0,0169.
Ответ: 0,0169.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 3x − 1,2 \leqslant -3,3 \\ 6x − 1,2 \leqslant 0,6 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;-0,7]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 33 мест, а в десятом ряду 42 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (42 - 33) / (10 - 7) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a7 - (7 - 1)·d = 33 - 6·3 = 15.
Последний ряд: a14 = a₁ + (14 - 1)·d = 15 + 13·3 = 54.
Ответ: 54.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 7 · 12 = \(\frac{84}{2}\) = 42.
Ответ: 42.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 18√3 · √3 / 3 = \(\frac{54}{3}\) = 18.
Ответ: 18.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 91° = 89°.
Ответ: 89.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.
Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-13}{(x-4)^2-6}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-13<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-4)^2-6<0\).
Шаг 2. \((x-4)^2<6\).
Шаг 3. \(-\sqrt{6}<x-4<\sqrt{6}\).
Шаг 4. Прибавляем 4: \(4-\sqrt{6}<x<4+\sqrt{6}\).
Ответ: \((4-\sqrt{6};\; 4+\sqrt{6})\).
Правильный ответ: (4-√6;4+√6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 140 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 6) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 140/x ч, вторым — 140/(x−6) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:
140/(x−6) − 140/x = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x−6):
140·x − 140·(x−6) = 3·x·(x−6).
840 = 3·x² − 18·x.
3x² − 18x − 840 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·3·840 = 324 + 10080 = 10404, √D = 102.
x = (18 + 102) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — 140/20 = 7 ч, второй — 140/14 = 10 ч.
10 − 7 = 3 = 3. ✓
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| + 6\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x + 6.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x + 6.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 6.
Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 8, AC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
8² + r² = (10 − r)².
64 + r² = 100 − 20r + r².
20r = 100 − 64 = 36.
r = \(\frac{36}{20}\) = 1.8.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{36}{10}\) = 3,6.
Ответ: 3,6.
Правильный ответ: 3,6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. AD = 2·AB (по условию), M — середина AD.
Значит AD/2 = AB/2 ... нет: AD = AD, AD/2 = AB.
Шаг 2. В параллелограмме AB ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном BM и соседними сторонами, два угла при основании равны.
(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)
Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ BM — биссектриса угла ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 24² = 576, AD·BC = 34·2 = 68.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 13,5.
Ответ: 13,5.
Правильный ответ: 13,5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.