Загрузка заданий...
Вариант 3038 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{5}{2} : \frac{8}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{5}{2} : \frac{8}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{5}{2}) : \frac{8}{5} = \frac{25}{16}\).
Получили дробь \(\frac{25}{16}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,5625\).
Ответ: \(1,5625\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 0,86. Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число 0,86 по своему значению совпадает с точкой B.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{216} + \sqrt{150})\sqrt{6}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√216 + √150)·√6.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √216 = 6√6, √150 = 5√6.
Тогда получаем (6√6 + 5√6)·√6 = 11√6·√6.
Так как √6·√6 = 6, имеем 11·6 = 66.
Ответ: 66.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-5}{x + 5} = -5$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -5/(x + 5) = -5
Область допустимых значений: x != -5.
Умножим обе части уравнения на x + 5:
-5 = -5(x + 5)
Раскроем скобки:
-5 = -5x - 25
Перенесём число в левую часть:
20 = -5x
x = 20 / -5
x = -4
Проверка ОДЗ: x = -4, x != -5, условие выполняется.
Ответ: -4
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 40 чашек: 32 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 8 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{8}{40}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 283,5 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 283,5/(4,5²) = 14.
Ответ: 14.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-5x - 3 ≥ 6x + 8
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -5x - 3 >= 6x + 8.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -11x <= 11.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -11: x <= -1.
Значит, x меньше или равно -1.
Этому соответствует промежуток (-∞;-1].
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 16, d = 3, n = 15.
Сначала найдём последний ряд: a15 = 16 + (15 - 1)·3 = 58.
Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(16 + 58)/2 = 555.
Ответ: 555.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 14, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.
Поэтому AM = AC : 2 = 14 : 2 = 7.
Ответ: 7.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 148°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 148° = 32°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 32° / 2 = 16°.
Ответ: 16.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 4 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 9 / 2 = 4,5.
Ответ: 4,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 3 и 5.
Больший катет равен 5.
Ответ: 5.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-2)^4+3(x-2)^2-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биквадратное по \((x-2)\). Замена \(t=(x-2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+5)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-5\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Так как \(t\ge0\), берём только \(t=2\). (Значение \(t=-5\) исключаем.)
Шаг 4. Решаем \((x-2)^2=2\):
\(x-2=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{2}\).
Ответ: \(2-\sqrt{2};\quad 2+\sqrt{2}\).
Правильный ответ: 2-√2;2+√2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
216/x − 216/(x+9) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+9):
216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).
1944 = 4·x² + 36·x.
4x² + 36x − 1944 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.
x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.
12 − 8 = 4 = 4. ✓
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=-2-\dfrac{x+4}{x^2+4x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-2-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-4 \).
У функции \( y=-2-\frac1x \) нет значений \( y=-2 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-1,75 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-2; -1,75 \).
Ответ: -2; -1,75.
Правильный ответ: -2; -1,75
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(32² + 24²) = √1600 = 40.
Ответ: 40.
Правильный ответ: 40
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка E равноудалена от C и D
⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.
Следовательно, EF ⟂ CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 36 · 44 = 1584.
AT = √1584.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 8 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{11}{6}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 21,6.
Ответ: 21,6.
Правильный ответ: 21,6
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.