Загрузка заданий...
Вариант 3086 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{1} - \frac{1}{2} - \frac{7}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{1} - \frac{1}{2} - \frac{7}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{1}) - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
Шаг 2: \((\frac{5}{2}) - \frac{7}{4} = \frac{3}{4}\).
Получили дробь \(\frac{3}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,75\).
Ответ: \(0,75\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 6 < a < 7.
Проверим варианты ответа:
1) a - 7 > 0 ⇔ a > 7 — неверно.
2) 6 - a < 0 ⇔ a > 6 — верно.
3) a < 6 ⇔ a < 6 — неверно.
4) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{7} \cdot \sqrt{70}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5√10 · 3√7 · √70.
Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.
Подкоренные выражения дают: √10 · √7 · √70 = √(10·7·70) = √(4900) = 70.
Тогда всё выражение равно 15 · 70 = 1050.
Ответ: 1050.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 2x + 8y = -62 \\ -x - 5y = 39 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
2x + 8y = -62
-x - 5y = 39
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -1, а второе — на 2.
Получим:
\((2x + 8y = -62) \cdot -1\): -2x - 8y = 62
\((-x - 5y = 39) \cdot 2\): -2x - 10y = 78
Вычтем второе уравнение из первого:
2y = -16
y = -16 / 2 = -8
Подставим y = -8 в первое уравнение:
2x + 8y = -62
Получаем x = 1.
Ответ: (1;-8)
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 44 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 100.
Благоприятных исходов: 56 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 56/100 = 0,56.
Ответ: 0,56.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = 3x + 4\)
Б) \(y = -3x - 3\)
В) \(y = 2x\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -103 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_F = -103 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-103 − 32)/9 = -75.
Ответ: -75.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 5)(x - 10) > 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -5 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 10) > 0 получаем решение (-∞;-5) ∪ (10;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 8, q = 3.
За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 8·3^3 = 216 мг.
Ответ: 216.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике два угла равны 89° и 31°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 89° - 31° = 60°.
Ответ: 60.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.
Значит, a = 2r√3 = 2 · 5√3 · √3 = 30.
Ответ: 30.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ прямоугольника образует угол 74° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Каждая диагональ образует с выбранной стороной одинаковый по модулю угол.
Поэтому угол между диагоналями равен 2·74° или его дополнительному углу.
Острый угол равен 32°.
Ответ: 32.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.
Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.
Ответ: 9.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.
3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Ответ: 12.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}4x^2+y=9,\\8x^2-y=3.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((4x^2+y)+(8x^2-y)=9+3\Rightarrow 12x^2=12\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=9-4x^2=9-4=5\).
Ответ: \((-1;\,5);\ (1;\,5)\).
Правильный ответ: (-1;5);(1;5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.
По течению: x + 4. Против течения: x − 4.
Шаг 2. Составляем уравнение:
280/(x+4) + 15 + 280/(x−4) = 39.
Шаг 3. Переносим стоянку: 280/(x+4) + 280/(x−4) = 24.
Шаг 4. Умножаем на (x+4)(x−4) = x²−16:
280(x−4) + 280(x+4) = 24(x²−16).
Шаг 5. Левая часть: 2·280·x = 560x. Квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 24.
Шаг 7. Проверка: 10 + 15 + 14 = 39. ✓
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=-2-\dfrac{x+4}{x^2+4x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-2-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-4 \).
У функции \( y=-2-\frac1x \) нет значений \( y=-2 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-1,75 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-2; -1,75 \).
Ответ: -2; -1,75.
Правильный ответ: -2; -1,75
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 28, а сторона AC в 1,4 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 1,4·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 1,4 = 28 / 1,4 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 8 и 6. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 53° + 37° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 8 и 6.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 8 и (b-a)/2 = 6 (или наоборот).
a+b = 16, b-a = 12.
b = 14, a = 2.
Ответ: 2; 14.
Правильный ответ: 2; 14
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.