Загрузка заданий...

Вариант 3141 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

Разбор: Печь для бани →

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,5 + 0,2 + 0,2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,5 + 0,2 + 0,2$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,5) + 0,2 = 0,7$.

Шаг 2: $(0,7) + 0,2 = 0,9$.

Ответ: $0,9$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

a > 3

a - 2 < 0

a < 3

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 2 < a < 3.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) a > 3 ⇔ a > 3 — неверно.

3) a - 2 < 0 ⇔ a < 2 — неверно.

4) a < 3 ⇔ a < 3 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{30}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 6√10 · 4√3 · √30.

Перемножим коэффициенты: 6 · 4 = 24.

Подкоренные выражения дают: √10 · √3 · √30 = √(10·3·30) = √(900) = 30.

Тогда всё выражение равно 24 · 30 = 720.

Ответ: 720.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-1}{x - 6} = 1$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -1/(x - 6) = 1

Область допустимых значений: x != 6.

Умножим обе части уравнения на x - 6:

-1 = 1(x - 6)

Раскроем скобки:

-1 = 1x - 6

Перенесём число в левую часть:

5 = 1x

x = 5 / 1

x = 5

Проверка ОДЗ: x = 5, x != 6, условие выполняется.

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = x^2 + 4x - 3$

Б) $y = -\dfrac{1}{2x}$

В) $y = -\dfrac{1}{2}x + 6$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 15, sinα = 0,625, а S = 56,25.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·56,25/(15·0,625) = 12.

Ответ: 12.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² > 36

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Из неравенства x² > 36 получаем границы x = ±6. Верное решение: (-∞;-6) ∪ (6;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в тринадцатом ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 19, d = 2.

Найдём 13-й член: a13 = a₁ + (13 - 1)·d = 19 + 12·2 = 43.

Ответ: 43.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Высота равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 9√3.

Отсюда a / 2 = 9, значит a = 18.

Ответ: 18.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 32.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 32 = 64.

S = a² = 64² = 4096.

Ответ: 4096.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Сторона ромба равна 36 / 4 = 9.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 9² · sin 30° = 9² · $\frac{1}{2}$ = 40,5.

Ответ: 40,5.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.

Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: тупым может быть только один угол.

3) Верно.

Ответ: 13.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 2 — левые части станут одинаковыми.

Шаг 1. Умножаем первое на 2: $10x^2+2y^2=72$.

Шаг 2. По второму уравнению: $10x^2+2y^2=36x$.

Шаг 3. Левые части равны — приравниваем правые:

$72=36x\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. Подставляем $x=2$ в первое уравнение:

$5\cdot4+y^2=36\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4$.

Ответ: $(2;\,-4);\ (2;\,4)$.

Правильный ответ: (2;-4);(2;4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 29%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 32 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 32 кг сухих фруктов:

32 · 71/100 = 22,72 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,16·x = 22,72.

x = 22,72 / 0,16 = 142 кг.

Ответ: 142.

Правильный ответ: 142

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+1,\ x\ne -2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2; 2; 2,5 $.

Ответ: $ -2; 2; 2,5 $.

Правильный ответ: -2; 2; 2,5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 9, AC = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.

Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).

Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).

AB² + r² = AO² = (AC − r)².

9² + r² = (12 − r)².

81 + r² = 144 − 24r + r².

24r = 144 − 81 = 63.

r = $\frac{63}{24}$ = 2.625.

Шаг 3. D = 2r = $\frac{63}{12}$ = 5,25.

Ответ: 5,25.

Правильный ответ: 5,25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−22, 0), D = (22, 0) (|AD| = 44).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (44, h). На прямой BE точка E = (0, 44 − h), так как BE = 44.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{44}{4}$ = 33.

Шаг 5. AB = √(h² + (22)²) = √(1089 + 484) = 11√13;

BC = 2·AB = 22√13; CA = 33√5.

Ответ: 11√13; 22√13; 33√5.

Правильный ответ: 11√13; 22√13; 33√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.