Загрузка заданий...
Вариант 3192 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{12} : \frac{8}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{12} : \frac{8}{3}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{12}) : \frac{8}{3} = \frac{7}{32}\).
Получили дробь \(\frac{7}{32}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,21875\).
Ответ: \(0,21875\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 3,59 до \(3\sqrt{2}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 3,59 и \(3\sqrt{2}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (3,84) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 3)(\sqrt{8} + 3)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√8 - 3)(√8 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√8)² - 3² = 8 - 9 = -1.
Ответ: -1.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 5 + 5(-5x - 5) = -6x - 77
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 5 + 5(-5x - 5) = -6x - 77
Раскроем скобки:
5 + 5(-5x - 5) = -6x - 77
5 - 25x - 25 = -6x - 77
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-25x - 20 = -6x - 77
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
-19x = -57
Разделим обе части на -19:
x = -57 / -19
x = 3
Ответ: 3
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cap B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события \(A \cap B\): 1.
\(P=1/8=0,125\).
Ответ: 0,125
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -\dfrac{3}{4}x - 1\)
Б) \(y = -x^2 + 5\)
В) \(y = -\dfrac{12}{x}\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 50 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0001 и U = 50 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·50² / 2 = 0,125.
Ответ: 0,125.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 2)(x - 9) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -2 и x = 9. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 9 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 9) <= 0 получаем решение [-2;9]. Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике два угла равны 51° и 75°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 51° - 75° = 54°.
Ответ: 54.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.
r = (20√3 · √3) / 6 = \(\frac{60}{6}\) = 10.
Ответ: 10.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Острый угол равен 48°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.
Тупой угол ромба равен 180° - 48° = 132°.
Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 132° / 2 = 66°.
Ответ: 66.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 8 и 2.
Искомое отношение площадей равно (8 / 2)² = 16.
Ответ: 16.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-1)^4-2(x-1)^2-3=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-1)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-2t-3=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+1)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-1\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\).
Шаг 4. Решаем \((x-1)^2=3\):
\(x-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(1-\sqrt{3};\quad 1+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: 1-√3;1+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 341 кг свежих фруктов:
341 · 14/100 = 47,74 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 47,74.
x = 47,74 / 0,77 = 62 кг.
Ответ: 62.
Правильный ответ: 62
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}2x-2,& x<3,\\-3x+13,& 3\le x\le 4,\\1{,}5x-7,& x>4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (-1;1)∪{4}.
Ответ: (-1;1)∪{4}.
Правильный ответ: (-1;1)∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 18.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.
Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).
Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).
BH = PK = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.
Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).
Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке P и CD в точке Q.
Центральная симметрия переводит AB в CD и P в Q (так как O — центр).
Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит BP = DQ. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 10 и 3. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 39° + 51° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 10 и 3.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 10 и (b-a)/2 = 3 (или наоборот).
a+b = 20, b-a = 6.
b = 13, a = 7.
Ответ: 7; 13.
Правильный ответ: 7; 13
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.