Загрузка заданий...
Вариант 3369 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$8,75 : 0,01$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(8,75 : 0,01\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((8,75) : 0,01 = 875\).
Ответ: \(875\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 2 < a < 3.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) 2 - a > 0 ⇔ a < 2 — неверно.
3) a > 3 ⇔ a > 3 — неверно.
4) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5^{-2} \cdot (5^3)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5^(-2) · (5^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^3)^2 = 5^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-2 · 5^6 = 5^4.
Получаем 5^4 = 625.
Ответ: 625.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{1}{x + 6} = 1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 1/(x + 6) = 1
Область допустимых значений: x != -6.
Умножим обе части уравнения на x + 6:
1 = 1(x + 6)
Раскроем скобки:
1 = 1x + 6
Перенесём число в левую часть:
-5 = 1x
x = -5 / 1
x = -5
Проверка ОДЗ: x = -5, x != -6, условие выполняется.
Ответ: -5
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Саша не выучил 32 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 18 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{18}{50}\) = 0,36.
Ответ: 0,36.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b < 0
2) k > 0, b > 0
3) k < 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 10 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 784 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 784/(9,8·10) = 8.
Ответ: 8.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 ≤ 25
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² <= 25 получаем границы x = ±5. Верное решение: [-5;5]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 32 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 640 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 32 минут пройдёт 4 промежутков по 8 минут.
Тогда масса станет равна 640·(\(\frac{1}{2}\))^4 = 40 мг.
Ответ: 40.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 24, AB = 25. Найдите sin B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{24}{25}\) = 0,96.
Ответ: 0,96.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
Значит, диагональ равна 10.
Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.
После вычисления сторон получаем площадь 48.
Ответ: 48.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 11, AB = 18. Найдите AC.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Значит, BD = 2·BO = 2·11 = 22.
Так как AC = BD, получаем:
AC = 22.
Ответ: 22.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 8 и 4.
S = 8 · 4 / 2 = 16.
Ответ: 16.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(34a-6b+47\), если \(\dfrac{2a-6b+9}{6a-2b+9}=6\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(34a-6b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(2a-6b+9 = 6(6a-2b+9)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(2a-6b+9 = 36a-12b+54\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 34a-6b+45\), откуда \(34a-6b = -45\).
Шаг 4. Вычисляем: \(34a-6b+47 = -45+47 = 2\).
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/90 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/110 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/90 + S/110) = 2 / (\(\frac{1}{90}\) + 1/110).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·90·110 / (90 + 110) = 19800 / 200 = 99 км/ч.
Ответ: 99.
Правильный ответ: 99
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-6x+11,& x\ge 2,\\x+3,& x<2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {2}∪(3;5).
Ответ: {2}∪(3;5).
Правильный ответ: {2}∪(3;5)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 26. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(26² − 24²) = √100 = 10.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 24·\(\frac{10}{2}\) = 120.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 26 и высоту h к ней: S = 26·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 24·\(\frac{10}{26}\) = 120/13.
Ответ: 120/13.
Правильный ответ: 120/13
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов A и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠D = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠D/2 = 90°.
Значит в △K (треугольник при пересечении биссектрис) угол при K равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до K равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем K — середина BC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−20, 0), D = (20, 0) (|AD| = 40).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (40, h). На прямой BE точка E = (0, 40 − h), так как BE = 40.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{40}{4}\) = 30.
Шаг 5. AB = √(h² + (20)²) = √(900 + 400) = 10√13;
BC = 2·AB = 20√13; CA = 30√5.
Ответ: 10√13; 20√13; 30√5.
Правильный ответ: 10√13; 20√13; 30√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.