Загрузка заданий...

Вариант 3450 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

Разбор: Печь для бани →

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{5}{2} : \frac{2}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{5}{2} : \frac{2}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{5}{2}) : \frac{2}{5} = \frac{25}{4}$.

Получили дробь $\frac{25}{4}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $6,25$.

Ответ: $6,25$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,8

$\frac{2}{3}$

$\frac{\sqrt{17}}{2}$

2,93

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -2,8 ≈ -2,8

2) $\frac{2}{3}$ ≈ 0,6667

3) $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ≈ 2,0616

4) 2,93 ≈ 2,93

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(4\sqrt{11})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (4√11)².

Используем свойство степени произведения: (4√11)² = 4² · (√11)².

Получаем 16 · 11 = 176.

Ответ: 176.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 3x - 18 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² + 3x - 18 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 3, c = -18.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 3² - 4·1·-18 = 81.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-3 - √81) / 2 = -6

x₂ = (-3 + √81) / 2 = 3

Ответ: -6;3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события $\overline{A} \cup B$: 5.

$P=5/8=0,625$.

Ответ: 0,625

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -2x - 4$

Б) $y = \sqrt{x}$

В) $y = -x^2 - 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 20 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим C = 0,0001 и U = 20 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·20² / 2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 8)(x - 9) < 0

(-∞;-8]

[-8;9]

(-∞;-8] ∪ [9;+∞)

(-8;9)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -8 и x = 9. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 9 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 9) < 0 получаем решение (-8;9). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 30 мест, а в восьмом ряду 42 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (42 - 30) / (8 - 4) = 3.

Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 30 - 3·3 = 21.

Последний ряд: a15 = a₁ + (15 - 1)·d = 21 + 14·3 = 63.

Ответ: 63.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 7. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 6 · 7 = $\frac{42}{2}$ = 21.

Ответ: 21.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 8√2 = 16√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 16√2 · √2 = 32.

Ответ: 32.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (7 - 2) / 2 = 2,5.

S = (2 + 7) / 2 · 2,5 = 11,25.

Ответ: 11,25.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 4.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $57a-47b+53$, если $\dfrac{6a-7b+5}{7a-6b+5}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $57a-47b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $6a-7b+5 = 9(7a-6b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $6a-7b+5 = 63a-54b+45$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 57a-47b+40$, откуда $57a-47b = -40$.

Шаг 4. Вычисляем: $57a-47b+53 = -40+53 = 13$.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 300/60 = 5 ч,

t₂ = 300/100 = 3 ч,

t₃ = 300/75 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 300 + 300 + 300 = 900 км.

Шаг 3. Общее время: 5 + 3 + 4 = 12 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 900 / 12 = 75 км/ч.

Ответ: 75.

Правильный ответ: 75

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -2.

Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -2.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 18, а сторона BC в 1,5 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 1,5 раза меньше AB, то есть AB = 1,5·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 1,5 = 18 / 1,5 = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).

Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).

Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.

Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √7/4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 24 · 42 = 1008.

AT = √1008.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 18 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{7}{4}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 16.

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.