Загрузка заданий...
Вариант 3493 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{8} - \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{8} - \frac{3}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{8}) - \frac{3}{4} = \frac{1}{8}\).
Получили дробь \(\frac{1}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,125\).
Ответ: \(0,125\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -0,5 до 0?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -0,5 и 0. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(-\frac{1}{5}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$10^{-2} \cdot (10^2)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 10^(-2) · (10^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (10^2)^2 = 10^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 10^-2 · 10^4 = 10^2.
Получаем 10^2 = 100.
Ответ: 100.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 2x + 12 = 20
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 2x + 12 = 20
Перенесём 12 в правую часть:
2x = 20 - 12
2x = 8
Разделим обе части на 2:
x = 8 / 2
x = 4
Ответ: 4
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Стас не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 41 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{41}{50}\) = 0,82.
Ответ: 0,82.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = x + 1\)
Б) \(y = 2x^2 + 14x + 24\)
В) \(y = \dfrac{1}{x}\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 20 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 20 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·20 = 88000.
Ответ: 88 000.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 36 < 0
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Решаем x² - 36 < 0. Нули: x = -6 и x = 6. Верное решение: (-6;6). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 18, d = 3, n = 10.
Сначала найдём последний ряд: a10 = 18 + (10 - 1)·3 = 45.
Сумма первых 10 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 10·(18 + 45)/2 = 315.
Ответ: 315.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 12√3.
Отсюда a / 2 = 12, значит a = 24.
Ответ: 24.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 6, BC = 8, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
По теореме Пифагора AB = 10.
Следовательно, R = AB / 2 = 10 / 2 = 5.
Ответ: 5.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 14, BD = 18, AB = 5. Найдите DO.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, DO = BD / 2 = 18 / 2 = 9.
Ответ: 9.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 6 и 8.
Больший катет равен 8.
Ответ: 8.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(10a-18b+25\), если \(\dfrac{8a-6b+6}{6a-8b+6}=3\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(10a-18b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(8a-6b+6 = 3(6a-8b+6)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(8a-6b+6 = 18a-24b+18\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 10a-18b+12\), откуда \(10a-18b = -12\).
Шаг 4. Вычисляем: \(10a-18b+25 = -12+25 = 13\).
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 10) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 60/x ч, первым — 60/(x+10) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:
60/x − 60/(x+10) = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x+10):
60·(x+10) − 60·x = 3·x·(x+10).
600 = 3·x² + 30·x.
3x² + 30x − 600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 30² + 4·3·600 = 900 + 7200 = 8100, √D = 90.
x = (−30 + 90) / (2·3) = 10 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — \(\frac{60}{10}\) = 6 ч, первый — \(\frac{60}{20}\) = 3 ч.
6 − 3 = 3 = 3. ✓
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}1{,}5x-1,& x<2,\\-1{,}5x+3,& 2\le x\le 3,\\3x-10{,}5,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-1,5}∪(0;2).
Ответ: {-1,5}∪(0;2).
Правильный ответ: {-1,5}∪(0;2)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 30, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 1,2 раза меньше AB, то есть AB = 1,2·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 1,2 = 30 / 1,2 = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.
Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):
∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.
Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 10 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 24, AB = 10, CD = 26, BC = 1.
Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 10 = 11.
S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 11)/2 · 24 = 130.
Ответ: 130.
Правильный ответ: 130
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.