Загрузка заданий...
Вариант 3566 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$7,5 - \frac{1}{10} - \frac{3}{100}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(7,5 - \frac{1}{10} - \frac{3}{100}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((7,5) - \frac{1}{10} = 7,4\).
Шаг 2: \((7,4) - \frac{3}{100} = 7,37\).
Получили результат \(7,37\).
Ответ: \(7,37\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел \(\frac{-11}{8}\), -0,44, \(\frac{12}{7}\), \(\sqrt{7}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -2 и -1.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-11}{8}\) ≈ -1,375
2) -0,44 ≈ -0,44
3) \(\frac{12}{7}\) ≈ 1,7143
4) \(\sqrt{7}\) ≈ 2,6458
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{20}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 6√10 · 3√2 · √20.
Перемножим коэффициенты: 6 · 3 = 18.
Подкоренные выражения дают: √10 · √2 · √20 = √(10·2·20) = √(400) = 20.
Тогда всё выражение равно 18 · 20 = 360.
Ответ: 360.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -8x - 5y = -19 \\ -3x - 8y = -50 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-8x - 5y = -19
-3x - 8y = -50
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -3, а второе — на -8.
Получим:
\((-8x - 5y = -19) \cdot -3\): 24x + 15y = 57
\((-3x - 8y = -50) \cdot -8\): 24x + 64y = 400
Вычтем второе уравнение из первого:
-49y = -343
y = -343 / -49 = 7
Подставим y = 7 в первое уравнение:
-8x - 5y = -19
Получаем x = -2.
Ответ: (-2;7)
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 10 чёрных, 2 жёлтых и 28 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 2 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{2}{40}\) = 0,05.
Ответ: 0,05.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = -\dfrac{1}{2x}\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 6\)
В) \(y = x^2 + 4x - 3\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 2 744 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 2 744/(9,8·40) = 7.
Ответ: 7.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-9x + 3 ≤ -7x + 1
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -9x + 3 <= -7x + 1.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x >= -2.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x >= 1.
Значит, x больше или равно 1.
Этому соответствует промежуток [1;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 6,3 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 10 см = 0,1 м.
После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 20, BC = 7, sin ∠ABC = 2/5. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 20 · 7 · \(\frac{2}{5}\) = 280/10 = 28.
Ответ: 28.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 3√5. Найдите площадь квадрата ABCD.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.
По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.
Следовательно, OA = a√5 / 2.
По условию OA = 3√5, значит a = 6.
Площадь квадрата равна a² = 36.
Ответ: 36.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 3 + 7 = 10.
S = 10 · 4 = 40.
Ответ: 40.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 8.
Средняя линия равна 8 / 2 = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((3-x)(x^2-9)\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: разложить через \((x-3)\).
Шаг 1. \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) и \(3-x=-(x-3)\).
Шаг 2. Перемножаем: \((3-x)(x^2-9)=-(x-3)^2(x+3)\).
Шаг 3. Неравенство: \(-(x-3)^2(x+3)\ge0\).
Шаг 4. Делим на \(-1\): \((x-3)^2(x+3)\le0\).
Шаг 5. Произведение \(\le0\) когда \(x+3\le0\Rightarrow x\le-3\), или \(x=3\).
Ответ: \((-\infty;\;-3]\cup\{3\}\).
Правильный ответ: (-∞;-3]∪{3}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 40 кг получается раствор с концентрацией 32%:
22·x + 18·y = 40·0,32 = 12,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 30%:
(x + y)/2 = 0,30 ⟹ x + y = 0,60 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,60 − x. Подставляем в (1):
22·x + 18·(0,60 − x) = 12,8
22x + 10,8 − 18x = 12,8
4x = 2 ⟹ x = 0,5.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 22·0,5 = 11 кг.
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-7,25; -5; 5 \).
Ответ: \( -7,25; -5; 5 \).
Правильный ответ: -7,25; -5; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 3, AC = 9.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
3² + r² = (9 − r)².
9 + r² = 81 − 18r + r².
18r = 81 − 9 = 72.
r = \(\frac{72}{18}\) = 4.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{72}{9}\) = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка E равноудалена от C и D
⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.
Следовательно, EF ⟂ CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 3.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 3.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 3 + 3 = 6.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 2 · 6 = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.