Загрузка заданий...
Вариант 3572 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,5 + 7,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,5 + 7,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,5) + 7,5 = 8\).
Ответ: \(8\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу \(\frac{11}{3}\). Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{11}{3}\) по своему значению совпадает с точкой D.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{11} \cdot 3\sqrt{7} \cdot \sqrt{77}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4√11 · 3√7 · √77.
Перемножим коэффициенты: 4 · 3 = 12.
Подкоренные выражения дают: √11 · √7 · √77 = √(11·7·77) = √(5929) = 77.
Тогда всё выражение равно 12 · 77 = 924.
Ответ: 924.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{4}{x + 8} = 1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 4/(x + 8) = 1
Область допустимых значений: x != -8.
Умножим обе части уравнения на x + 8:
4 = 1(x + 8)
Раскроем скобки:
4 = 1x + 8
Перенесём число в левую часть:
-4 = 1x
x = -4 / 1
x = -4
Проверка ОДЗ: x = -4, x != -8, условие выполняется.
Ответ: -4
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 1 чёрных, 3 жёлтых и 11 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 15.
Благоприятных исходов: 3 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{3}{15}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -\dfrac{12}{x}\)
Б) \(y = -x^2 + 5\)
В) \(y = -\dfrac{3}{4}x - 1\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 0,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 0,135 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 0,135/(0,5²) = 0,54.
Ответ: 0,54.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-8x + 9 ≥ -6x + 2
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -8x + 9 >= -6x + 2.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x <= -7.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x <= 3,5.
Значит, x меньше или равно 3,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;3,5].
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,3 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,3, d = 0,5, n = 7.
Сумма первых 7 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 12,6.
Ответ: 12,6.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, AB = 5. Найдите cos B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{3}{5}\) = 0,6.
Ответ: 0,6.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 82°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
∠C = 180° - 82° = 98°.
Ответ: 98.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.
Следовательно, меньшее основание равно 6 - 3 = 3.
Ответ: 3.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 6 и 6.
Большая диагональ равна 6.
Ответ: 6.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(51a-27b+27\), если \(\dfrac{5a-8b+4}{8a-5b+4}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(51a-27b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(5a-8b+4 = 7(8a-5b+4)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(5a-8b+4 = 56a-35b+28\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 51a-27b+24\), откуда \(51a-27b = -24\).
Шаг 4. Вычисляем: \(51a-27b+27 = -24+27 = 3\).
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 15) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 100/x мин, второй — 100/(x+15) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:
100/x − 100/(x+15) = 6.
Шаг 4. Умножаем на x(x+15):
100·(x+15) − 100·x = 6·x·(x+15).
1500 = 6·x² + 90·x.
6x² + 90x − 1500 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 90² + 4·6·1500 = 8100 + 36000 = 44100, √D = 210.
x = (−90 + 210) / (2·6) = 10 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 100/10 = 10 мин, вторая — 100/25 = 4 мин.
10 − 4 = 6 = 6. ✓
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{3x+5}{3x^2+5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5/3 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-5/3 \), откуда \( k=9/25 \).
Ответ: \(\frac{9}{25}\).
Правильный ответ: 9/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 80 и 82. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(82² − 80²) = √324 = 18.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 80·\(\frac{18}{2}\) = 720.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 82 и высоту h к ней: S = 82·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 80·\(\frac{18}{82}\) = 720/41.
Ответ: 720/41.
Правильный ответ: 720/41
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 14. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).
Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.
Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.
Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).
Площадь = BC · h = ... = 1008.
Ответ: 1008.
Правильный ответ: 1008
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.