Загрузка заданий...

Вариант 3617 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

Разбор: Печь для бани →

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{7}{10} - 0,008 : \frac{1}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{7}{10} - 0,008 : \frac{1}{8}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,008) : \frac{1}{8} = 0,064$.

Шаг 2: $(\frac{7}{10}) - 0,064 = 0,636$.

Получили результат $0,636$.

Ответ: $0,636$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -4,6 до $-\frac{107}{50}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{13}{5}$

-3,4

$\frac{27}{8}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -4,6 и $-\frac{107}{50}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-3,4) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{54} + \sqrt{6})\sqrt{6}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√54 + √6)·√6.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √54 = 3√6, √6 = 1√6.

Тогда получаем (3√6 + 1√6)·√6 = 4√6·√6.

Так как √6·√6 = 6, имеем 4·6 = 24.

Ответ: 24.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -7x - 5y = 5 \\ -5x - 4y = 7 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-7x - 5y = 5

-5x - 4y = 7

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -5, а второе — на -7.

Получим:

$(-7x - 5y = 5) \cdot -5$: 35x + 25y = -25

$(-5x - 4y = 7) \cdot -7$: 35x + 28y = -49

Вычтем второе уравнение из первого:

-3y = 24

y = 24 / -3 = -8

Подставим y = -8 в первое уравнение:

-7x - 5y = 5

Получаем x = 5.

Ответ: (5;-8)

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,6.

Ответ: 0,6

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t = 8 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(8 − 5) = 183.

Ответ: 183.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-3x - 8 < -2x - 12

(-∞;4)

(0;+∞)

(4;+∞)

(0,8;+∞)

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -3x - 8 < -2x - 12.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x > -4.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -1: x > 4.

Значит, x больше 4.

Этому соответствует промежуток (4;+∞).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 35 мест, а в десятом ряду 50 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (50 - 35) / (10 - 5) = 3.

Тогда первый ряд: a₁ = a5 - (5 - 1)·d = 35 - 4·3 = 23.

Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 23 + 18·3 = 77.

Ответ: 77.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 12, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.

Поэтому AM = AC : 2 = 12 : 2 = 6.

Ответ: 6.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 78°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 78° = 156°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 156° = 24°.

Ответ: 24.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 18° и 82°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.

Искомый угол равен 180° - 18° - 82° = 80°.

Ответ: 80.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 8 и 2.

Искомое отношение площадей равно (8 / 2)² = 16.

Ответ: 16.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Любой квадрат является прямоугольником.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-2)^2<\sqrt{3}(x-2)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-2)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-2)^2-\sqrt{3}(x-2)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-2)\bigl[(x-2)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=2$ и $x=2+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(2;\; 2+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (2;2+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/42 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/48 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/42 + S/48) = 2 / ($\frac{1}{42}$ + $\frac{1}{48}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·42·48 / (42 + 48) = 4032 / 90 = 44,8 км/ч.

Ответ: 44,8.

Правильный ответ: 44,8

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2-2x+3,& x\ge -2,\\-x-1,& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (1;3)∪{4}.

Ответ: (1;3)∪{4}.

Правильный ответ: (1;3)∪{4}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 18, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 12² + (AB/2)² = 12² + 9² = 225. R = 15.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 9 от центра:

(CD/2)² = R² − 9² = 225 − 81 = 144.

CD/2 = 12.

Шаг 3. CD = 2 · 12 = 24.

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 36, AC = 54, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 36²/54 = 1296/54.

Шаг 4. CD = AC − AD = 54 − 1296/54 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.