Загрузка заданий...
Вариант 3623 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).
Получили дробь \(\frac{1}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,25\).
Ответ: \(0,25\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 6 < a < 7.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) a < 6 ⇔ a < 6 — неверно.
3) a > 7 ⇔ a > 7 — неверно.
4) a - 7 < 0 ⇔ a < 7 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{11})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (4√11)².
Используем свойство степени произведения: (4√11)² = 4² · (√11)².
Получаем 16 · 11 = 176.
Ответ: 176.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-4}{x - 1} = -1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -4/(x - 1) = -1
Область допустимых значений: x != 1.
Умножим обе части уравнения на x - 1:
-4 = -1(x - 1)
Раскроем скобки:
-4 = -1x + 1
Перенесём число в левую часть:
-5 = -1x
x = -5 / -1
x = 5
Проверка ОДЗ: x = 5, x != 1, условие выполняется.
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 8 чёрных, 1 жёлтых и 31 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 1 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{1}{40}\) = 0,025.
Ответ: 0,025.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -3x^2 + 9x - 4\)
Б) \(y = \dfrac{2}{3}x - 5\)
В) \(y = -\dfrac{6}{x}\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 9 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 9 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·9 = 42900.
Ответ: 42 900.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
x - 10 ≤ -9x + 1
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: x - 10 <= -9x + 1.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x <= 11.
Делим обе части на 10: x <= 1,1.
Значит, x меньше или равно 1,1.
Этому соответствует промежуток (-∞;1,1].
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 2, n = 14.
Сначала найдём последний ряд: a14 = 17 + (14 - 1)·2 = 43.
Сумма первых 14 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 14·(17 + 43)/2 = 420.
Ответ: 420.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 13° и AK = CK.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.
Но ∠ACK = ∠C = 13°.
Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·13° = 26°.
Тогда ∠B = 180° - 26° - 13° = 141°.
Ответ: 141.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 150°, AB = 4. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
По теореме синусов AB = 2R·sin C.
Следовательно, R = AB / (2 sin 150°).
Подстановка даёт R = 4.
Ответ: 4.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
В равнобедренной трапеции соседние углы при боковой стороне supplementary.
Искомый угол равен 180° - 131° = 49°.
Ответ: 49.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 4 и 6.
Больший катет равен 6.
Ответ: 6.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-5)^2<\sqrt{7}(x-5)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-5)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-5)^2-\sqrt{7}(x-5)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-5)\bigl[(x-5)-\sqrt{7}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=5\) и \(x=5+\sqrt{7}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((5;\; 5+\sqrt{7})\).
Правильный ответ: (5;5+√7)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.
Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость против течения: x − 3. По течению: x + 3.
Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 2 ч больше):
72/(x − 3) − 72/(x + 3) = 2.
Шаг 3. Умножаем на (x−3)(x+3) = x²−9:
72(x+3) − 72(x−3) = 2(x²−9).
Шаг 4. Левая часть: 72·2·3 = 432. Получаем квадратное уравнение:
2x² − 432 − 18 = 0.
Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 15.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{72}{12}\) = 6 ч, \(\frac{72}{18}\) = 4 ч, разность 2 ч. ✓
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-7,25; -5; 5 \).
Ответ: \( -7,25; -5; 5 \).
Правильный ответ: -7,25; -5; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 15 и CH = 2. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 15 + 2 = 17.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 17 и катетом DH = 15.
Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(17² − 15²) = √(64) = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на средней линии равноудалена от обоих оснований.
Шаг 1. Средняя линия параллельна основаниям и находится на расстоянии h/2 от каждого, где h — высота трапеции.
Шаг 2. S(BFC) = BC·(h/2)/2 = BC·h/4.
S(AFD) = AD·(h/2)/2 = AD·h/4.
Шаг 3. S(BFC) + S(AFD) = (AD+BC)·h/4 = S(трапеции)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 13. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).
Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.
Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.
Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).
Площадь = BC · h = ... = 1120.
Ответ: 1120.
Правильный ответ: 1120
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.