Загрузка заданий...
Вариант 3747 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,001 : 0,1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,001 : 0,1\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,001) : 0,1 = 0,01\).
Ответ: \(0,01\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) a < -2 ⇔ a < -2 — неверно.
2) -a < 1 ⇔ a > -1 — неверно.
3) -a < 2 ⇔ a > -2 — верно.
4) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{252} + \sqrt{112})\sqrt{7}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√252 + √112)·√7.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √252 = 6√7, √112 = 4√7.
Тогда получаем (6√7 + 4√7)·√7 = 10√7·√7.
Так как √7·√7 = 7, имеем 10·7 = 70.
Ответ: 70.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 2x + 12 = 20
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 2x + 12 = 20
Перенесём 12 в правую часть:
2x = 20 - 12
2x = 8
Разделим обе части на 2:
x = 8 / 2
x = 4
Ответ: 4
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cup B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,6.
Ответ: 0,6
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -\dfrac{9}{x}\)
Б) \(y = \dfrac{1}{3}x + 1\)
В) \(y = -2x^2 - 10x - 13\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 4 с-1, а центростремительное ускорение равно 48 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 48/(4²) = 3.
Ответ: 3.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 2 < 4 \\ x − 0,5 \geqslant 0,8 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [1,3;2). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 12 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунд?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = 10, n = 4.
Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·12 + 3·10)/2 = 108.
Ответ: 108.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Медиана равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 9√3.
Отсюда a / 2 = 9, значит a = 18.
Ответ: 18.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 40, BC = 9, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.
По теореме Пифагора AB = 41.
Следовательно, R = AB / 2 = 41 / 2 = 20,5.
Ответ: 20,5.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 12 + 8 = 20.
S = 20 · 5 = 100.
Ответ: 100.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 3 и 4.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Ответ: 5.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(5a-2b+16\), если \(\dfrac{3a-4b+8}{4a-3b+8}=2\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(5a-2b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(3a-4b+8 = 2(4a-3b+8)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(3a-4b+8 = 8a-6b+16\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 5a-2b+8\), откуда \(5a-2b = -8\).
Шаг 4. Вычисляем: \(5a-2b+16 = -8+16 = 8\).
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 36 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 81 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).
Шаг 1. Поезд и пешеход движутся навстречу. Относительная скорость:
36 + 4 = 40 км/ч.
Шаг 2. Переводим в м/с: 40 × 1000 / 3600 = 100/9 м/с.
Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 81 с, значит его длина:
100/9 × 81 = 900 м.
Ответ: 900.
Правильный ответ: 900
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{1x-3}{1x^2-3x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=3 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=3 \), откуда \( k=1/9 \).
Ответ: \(\frac{1}{9}\).
Правильный ответ: 1/9
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 72 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(75² − 72²) = √441 = 21.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 72·\(\frac{21}{2}\) = 756.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 75 и высоту h к ней: S = 75·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 72·\(\frac{21}{75}\) = 20,16.
Ответ: 20,16.
Правильный ответ: 20,16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 90, MD = 69, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 90 − 69 = 21.
AM² = 441.
AH = AM² / AD = 441 / 90 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 90 − 4761/90 = 37,1.
Ответ: 37,1.
Правильный ответ: 37,1
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.