Загрузка заданий...

Вариант 3768 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

Разбор: Печь для бани →

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$.

Получили дробь $\frac{3}{5}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,6$.

Ответ: $0,6$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше $-\frac{1}{10}$, но меньше $\frac{47}{25}$.
В ответе укажите номер правильного варианта.

-4,48

-3,675

$\frac{1}{10}$

-2,4

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа $-\frac{1}{10}$ и $\frac{47}{25}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 ($\frac{1}{10}$) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 4)(\sqrt{11} + 4)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√11 - 4)(√11 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√11)² - 4² = 11 - 16 = -5.

Ответ: -5.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 13x + 40 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 13x + 40 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -13, c = 40.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -13² - 4·1·40 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (13 - √9) / 2 = 5

x₂ = (13 + √9) / 2 = 8

Ответ: 5;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 167 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_F = 167 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(167 − 32)/9 = 75.

Ответ: 75.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-4x - 1 ≥ -9x + 5

[1,2;+∞)

[-1,2;+∞)

[0;+∞)

(-∞;0]

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -4x - 1 >= -9x + 5.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x >= 6.

Делим обе части на 5: x >= 1,2.

Значит, x больше или равно 1,2.

Этому соответствует промежуток [1,2;+∞).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 12 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 12, q = 3.

За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 12·3^5 = 2916 мг.

Ответ: 2916.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 26, AB = 40. Найдите cos B.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.

cos B = BC / AB = $\frac{26}{40}$ = 0,65.

Ответ: 0,65.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 36° = 54°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 54°.

Ответ: 54.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 16°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.

Биссектриса делит угол A пополам.

Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 16° = 32°.

Ответ: 32.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.

Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}4x^2-5x=y,\\8x-10=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $4x^2-5x=8x-10$.

Шаг 2. Переносим влево: $4x^2-13x+10=0$.

Шаг 3. Разложим: $(4x-5)(x-2)=0$.

Корни: $x=\dfrac{5}{4}$ или $x=2$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{5}{4}$: $y=8\cdot\dfrac{5}{4}-10=0$.

При $x=2$: $y=8\cdot2-10=6$.

Ответ: $\left(\dfrac{5}{4};\,0\right);\ (2;\,6)$.

Правильный ответ: (5/4;0);(2;6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 33 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 3 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 33 км.

Время плота в пути: 33 / 3 = 11 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

11 − 1 = 10 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

72/(x+3) + 72/(x−3) = 10.

Шаг 5. Умножаем на (x+3)(x−3) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 15.

Шаг 7. Проверка: 4 + 6 = 10. ✓

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 6.

Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(32² + 24²) = √1600 = 40.

Ответ: 40.

Правильный ответ: 40

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что отрезки BK и DM равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает BC в точке K и AD в точке M.

Центральная симметрия переводит BC в AD и K в M (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит BK = DM. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 112° − 90° = 22°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 113° − 90° = 23°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 22° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 23° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 23° = 67°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 67° − 22° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 10 / sin(45°) = 10√2.

Ответ: 10√2.

Правильный ответ: 10√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.