Загрузка заданий...
Вариант 3859 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{5} - \frac{1}{10} - 0,35$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{5} - \frac{1}{10} - 0,35\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{4}{5}) - \frac{1}{10} = 0,7\).
Шаг 2: \((0,7) - 0,35 = 0,35\).
Получили результат \(0,35\).
Ответ: \(0,35\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 8 < a < 9.
Проверим варианты ответа:
1) a > 8 ⇔ a > 8 — верно.
2) -a > -8 ⇔ a < 8 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) a > 9 ⇔ a > 9 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5^{-2} \cdot (5^3)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 5^(-2) · (5^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^3)^2 = 5^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-2 · 5^6 = 5^4.
Получаем 5^4 = 625.
Ответ: 625.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 5 + 4(6x - 9) = -2x + 73
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 5 + 4(6x - 9) = -2x + 73
Раскроем скобки:
5 + 4(6x - 9) = -2x + 73
5 + 24x - 36 = -2x + 73
Приведём подобные слагаемые в левой части:
24x - 31 = -2x + 73
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
26x = 104
Разделим обе части на 26:
x = 104 / 26
x = 4
Ответ: 4
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 2 чёрных, 14 жёлтых и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 20.
Благоприятных исходов: 14 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{14}{20}\) = 0,7.
Ответ: 0,7.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 11 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 2 156 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 2 156/(9,8·11) = 20.
Ответ: 20.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-x + 9 > -7x + 6
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -x + 9 > -7x + 6.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 6x > -3.
Делим обе части на 6: x > -0,5.
Значит, x больше -0,5.
Этому соответствует промежуток (-0,5;+∞).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 26 мест, а в седьмом ряду 32 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (32 - 26) / (7 - 4) = 2.
Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 26 - 3·2 = 20.
Последний ряд: a14 = a₁ + (14 - 1)·d = 20 + 13·2 = 46.
Ответ: 46.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике два угла равны 67° и 30°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 67° - 30° = 83°.
Ответ: 83.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 78°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
∠C = 180° - 78° = 102°.
Ответ: 102.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 5√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 5√2 · √2 = 10.
Ответ: 10.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.
Ответ: 13.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: тангенс острого угла может быть больше 1.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}2x^2-x=y,\\2x-1=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(2x^2-x=2x-1\).
Шаг 2. Переносим влево: \(2x^2-3x+1=0\).
Шаг 3. Разложим: \((2x-1)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{1}{2}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{1}{2}\): \(y=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0\).
При \(x=1\): \(y=2-1=1\).
Ответ: \(\left(\dfrac{1}{2};\,0\right);\ (1;\,1)\).
Правильный ответ: (1/2;0);(1;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 81% воды, значит сухого вещества 19%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 420 кг свежих фруктов:
420 · 19/100 = 79,8 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 79,8.
x = 79,8 / 0,84 = 95 кг.
Ответ: 95.
Правильный ответ: 95
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+4)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+4),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-5; -4; 4 \).
Ответ: \( -5; -4; 4 \).
Правильный ответ: -5; -4; 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 45.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 45 · sin150°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 45 · sin150°.
AB = 45 · sin150°/sin60° (здесь sin150°/sin60° = √\(\frac{3}{3}\)).
AB = 15√3.
Ответ: 15√3.
Правильный ответ: 15√3
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка M равноудалена от S и T
⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.
Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.
Следовательно, MN ⟂ ST. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 12 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 5, AB = 12, CD = 13, BC = 4.
Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 12 = 16.
S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 16)/2 · 5 = 78.
Ответ: 78.
Правильный ответ: 78
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.