Загрузка заданий...
Вариант 3914 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,1 + 0,45$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,1 + 0,45\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,1) + 0,45 = 0,55\).
Ответ: \(0,55\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -0,9, \(\frac{45}{16}\), \(\sqrt{13}\), \(\frac{64}{15}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -0,9 ≈ -0,9
2) \(\frac{45}{16}\) ≈ 2,8125
3) \(\sqrt{13}\) ≈ 3,6056
4) \(\frac{64}{15}\) ≈ 4,2667
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{20} + \sqrt{125})\sqrt{5}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√20 + √125)·√5.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √20 = 2√5, √125 = 5√5.
Тогда получаем (2√5 + 5√5)·√5 = 7√5·√5.
Так как √5·√5 = 5, имеем 7·5 = 35.
Ответ: 35.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 18x + 81 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 + 18x + 81 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 18, c = 81.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 18² - 4·1·81 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = -18 / 2 = -9
Ответ: -9
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 25 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 20 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{20}{25}\) = 0,8.
Ответ: 0,8.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -112 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_F = -112 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-112 − 32)/9 = -80.
Ответ: -80.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 2x − 3 > -17,6 \\ 6x + 1,5 \geqslant -38,1 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-6,6;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 22 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 22, d = 2.
Найдём 10-й член: a10 = a₁ + (10 - 1)·d = 22 + 9·2 = 40.
Ответ: 40.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 3/5, BC = 30. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 30 · \(\frac{3}{5}\) = 18.
Ответ: 18.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 44. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 44 = 88.
Ответ: 88.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 94°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Значит сумма равных углов равна 94°, каждый из них равен 47°.
Искомый угол: 133°.
Ответ: 133.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 10 и 6.
Большая диагональ равна 10.
Ответ: 10.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{4}{x-1}-12=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x-1}\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+4t-12=0\).
Шаг 2. Дискриминант: \(D=16+48=64\), \(\sqrt{D}=8\).
\(t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6\).
Шаг 3. Обратная замена:
Если \(t=2\): \(x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Если \(t=-6\): \(x-1=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow x=\dfrac{5}{6}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne1\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{5}{6};\quad \dfrac{3}{2}\).
Правильный ответ: 5/6;3/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первые 450 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 230 км — со скоростью 115 км/ч, а последние 120 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 450/90 = 5 ч,
t₂ = 230/115 = 2 ч,
t₃ = 120/40 = 3 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 450 + 230 + 120 = 800 км.
Шаг 3. Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 800 / 10 = 80 км/ч.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+2,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+2,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-3; 3; 3,25 \).
Ответ: \( -3; 3; 3,25 \).
Правильный ответ: -3; 3; 3,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.
Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.
Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).
Шаг 2. По условию r = 12, диагональ = 48 = 4r.
Значит диагональ = 4·12, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.
Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = \(\frac{1}{2}\), α/2 = 30°, α = 60°.
Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.
Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.
Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):
∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.
Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 28, AC = 56, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.
Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.
Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).
Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.
Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):
AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 28²/56 = 784/56.
Шаг 4. CD = AC − AD = 56 − 784/56 = 42.
Ответ: 42.
Правильный ответ: 42
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.