Загрузка заданий...
Вариант 3957 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} : 2 : 25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{2} : 2 : 25\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{2}) : 2 = 0,75\).
Шаг 2: \((0,75) : 25 = 0,03\).
Получили результат \(0,03\).
Ответ: \(0,03\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2,77 ≈ -2,77
2) \(\frac{-23}{14}\) ≈ -1,6429
3) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ≈ 0,866
4) \(\frac{\sqrt{28}}{2}\) ≈ 2,6458
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^3)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^3)^2 = 7^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^6 = 7^3.
Получаем 7^3 = 343.
Ответ: 343.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 5x + 2y = -59 \\ x + 2y = -23 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
5x + 2y = -59
x + 2y = -23
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на 5.
Получим:
\((5x + 2y = -59) \cdot 1\): 5x + 2y = -59
\((x + 2y = -23) \cdot 5\): 5x + 10y = -115
Вычтем второе уравнение из первого:
-8y = 56
y = 56 / -8 = -7
Подставим y = -7 в первое уравнение:
5x + 2y = -59
Получаем x = -9.
Ответ: (-9;-7)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(A \cup \overline{B}\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,8.
Ответ: 0,8
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -x^2 + 7x - 7\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{5}x - 5\)
В) \(y = \dfrac{9}{x}\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 12 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 12 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·12 = 54500.
Ответ: 54 500.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 30 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 30, d = -4, n = 5.
Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·30 + 4·(-4))/2 = 110.
Ответ: 110.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 13√3.
Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.
Ответ: 26.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 52°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.
Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, ∠B = 180° - 52° = 128°.
Ответ: 128.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
При угле 45° высота равна половине разности оснований.
h = (8 - 4) / 2 = 2.
S = (4 + 8) / 2 · 2 = 12.
Ответ: 12.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 4, высота равна 7.
S = 4 · 7 / 2 = 14.
Ответ: 14.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: S = \(\frac{1}{2}\) ab sin γ, а sin γ ≤ 1, значит S ≤ ab/2 < ab.
2) Неверно: средняя линия равна полусумме оснований.
3) Верно: по признаку подобия по двум углам.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2-9x=y,\\5x-9=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части системы.
Шаг 1. \(5x^2-9x=5x-9\).
Шаг 2. Переносим влево: \(5x^2-14x+9=0\).
Шаг 3. Разложим: \((5x-9)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{9}{5}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{9}{5}\): \(y=5\cdot\dfrac{9}{5}-9=0\).
При \(x=1\): \(y=5-9=-4\).
Ответ: \(\left(\dfrac{9}{5};\,0\right);\ (1;\,-4)\).
Правильный ответ: (9/5;0);(1;-4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 8 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 75 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.
Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.
Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−8)) + 1/(2·90).
Шаг 3. Умножаем на 2·(x−8)·x·90 и упрощаем.
С учётом условия получаем x = 80.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 4. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 4.
Проверка: при m = 4 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 8 и CH = 2. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 8 + 2 = 10.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 10 и катетом DH = 8.
Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(10² − 8²) = √(36) = 6.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высоты из E до противоположных сторон в сумме дают высоту параллелограмма.
Шаг 1. Пусть h₁ — расстояние от E до BC, h₂ — до AD. Тогда h₁ + h₂ = h (высота параллелограмма).
Шаг 2. S(BEC) = BC·h₁/2; S(AED) = AD·h₂/2.
Так как BC = AD (параллелограмм): S(BEC)+S(AED) = AD·(h₁+h₂)/2 = AD·h/2 = S(ABCD)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 16.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
BF : FH = 5 : 3 (дано).
Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.
Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.
В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.
Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:3:
tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.
BF/FH = \(\frac{5}{3}\) ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = \(\frac{5}{3}\).
Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:
sin A = 2·3/(5+3) · ... = BC/(2R).
Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 16/(2·sin A) = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.