Загрузка заданий...
Вариант 3973 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$3 + 2,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(3 + 2,25\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((3) + 2,25 = 5,25\).
Ответ: \(5,25\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше -1,25, но меньше \(\frac{119}{25}\).
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -1,25 и \(\frac{119}{25}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (\(\sqrt{3}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(2\sqrt{5})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (2√5)².
Используем свойство степени произведения: (2√5)² = 2² · (√5)².
Получаем 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 5x - y = -21 \\ 4x + 7y = -9 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
5x - y = -21
4x + 7y = -9
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на 5.
Получим:
\((5x - y = -21) \cdot 4\): 20x - 4y = -84
\((4x + 7y = -9) \cdot 5\): 20x + 35y = -45
Вычтем второе уравнение из первого:
-39y = -39
y = -39 / -39 = 1
Подставим y = 1 в первое уравнение:
5x - y = -21
Получаем x = -4.
Ответ: (-4;1)
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 3 чёрных, 21 жёлтых и 1 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 21 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{25}\) = 0,84.
Ответ: 0,84.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 50 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0001 и U = 50 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·50² / 2 = 0,125.
Ответ: 0,125.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
7x + 1 ≤ 5x - 5
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 7x + 1 <= 5x - 5.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x <= -6.
Делим обе части на 2: x <= -3.
Значит, x меньше или равно -3.
Этому соответствует промежуток (-∞;-3].
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 9 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 9, q = 3.
За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 9·3^5 = 2187 мг.
Ответ: 2187.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 5, AC = 2. Найдите tg B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.
tg B = AC / BC = \(\frac{2}{5}\) = 0,4.
Ответ: 0,4.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 18√3 · √3 / 3 = \(\frac{54}{3}\) = 18.
Ответ: 18.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Острый угол равен 48°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.
Тупой угол ромба равен 180° - 48° = 132°.
Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 132° / 2 = 66°.
Ответ: 66.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 10 и 4.
Большая диагональ равна 10.
Ответ: 10.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(2a-11b+12\), если \(\dfrac{8a-5b+4}{5a-8b+4}=2\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(2a-11b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(8a-5b+4 = 2(5a-8b+4)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(8a-5b+4 = 10a-16b+8\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 2a-11b+4\), откуда \(2a-11b = -4\).
Шаг 4. Вычисляем: \(2a-11b+12 = -4+12 = 8\).
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения.
Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 2) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 2 ч раньше:
224/x − 224/(x+2) = 2.
Шаг 3. Умножаем на x·(x+2):
224·2 = 2·x·(x+2).
Шаг 4. Квадратное уравнение: 2x² + 4x − 448 = 0.
Шаг 5. D = 3600, √D = 60.
x = (−4 + 60) / (2·2) = 14 (скорость второго).
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| - 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x - 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x - 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -2.
Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: -2.
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 5,25, а AB = 9.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 5,25, AB = 9.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 5,25·AC − 9² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 5,25·AC − 81 = 0.
Положительный корень: AC = 12.
Проверка: D = (12² − 9²)/12 = \(\frac{63}{12}\) = 5,25. ✓
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.
Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,
поэтому высота hK = (hC + hD)/2.
Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.
Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.
Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 7° и 83°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 7° + 83° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 15 и 13.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 15 и (b-a)/2 = 13 (или наоборот).
a+b = 30, b-a = 26.
b = 28, a = 2.
Ответ: 2; 28.
Правильный ответ: 2; 28
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.