Загрузка заданий...
Вариант 461 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{25} : \frac{1}{1} + 10$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{25} : \frac{1}{1} + 10\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{4}{25}) : \frac{1}{1} = 0,16\).
Шаг 2: \((0,16) + 10 = 10,16\).
Получили результат \(10,16\).
Ответ: \(10,16\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 0,08 до 4,8?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 0,08 и 4,8. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (2,325) лежит между этими числами.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(7\sqrt{6})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (7√6)².
Используем свойство степени произведения: (7√6)² = 7² · (√6)².
Получаем 49 · 6 = 294.
Ответ: 294.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x - 6y = -25 \\ 2x - 8y = -38 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
x - 6y = -25
2x - 8y = -38
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на 1.
Получим:
\((x - 6y = -25) \cdot 2\): 2x - 12y = -50
\((2x - 8y = -38) \cdot 1\): 2x - 8y = -38
Вычтем второе уравнение из первого:
-4y = -12
y = -12 / -4 = 3
Подставим y = 3 в первое уравнение:
x - 6y = -25
Получаем x = -7.
Ответ: (-7;3)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,5.
Ответ: 0,5
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 7,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 112,5 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 112,5/(7,5²) = 2.
Ответ: 2.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 1)(x - 4) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -1 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 4) <= 0 получаем решение [-1;4]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 240, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 13√3.
Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.
Ответ: 26.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 41°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 132° - 41° = 91°.
Ответ: 91.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 7, а угол при основании равен 45°.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.
Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 7 + 2·5 = 17.
Ответ: 17.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 8.
Средняя линия равна 8 / 2 = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(3a-18b+33\), если \(\dfrac{5a-2b+7}{2a-5b+7}=4\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(3a-18b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(5a-2b+7 = 4(2a-5b+7)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(5a-2b+7 = 8a-20b+28\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 3a-18b+21\), откуда \(3a-18b = -21\).
Шаг 4. Вычисляем: \(3a-18b+33 = -21+33 = 12\).
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Баржа прошла по течению реки 88 км и, повернув обратно, прошла ещё 72 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
88/(x + 5) + 72/(x − 5) = 10.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
88(x−5) + 72(x+5) = 10(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 17.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{88}{22}\) = 4 ч, \(\frac{72}{12}\) = 6 ч, сумма 10 ч. ✓
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 72° и 78°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.
Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 72° − 78° = 30°.
Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·17·(\(\frac{1}{2}\)) = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 16 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 30, AB = 16, CD = 34, BC = 2.
Шаг 3. AD = BC + AB = 2 + 16 = 18.
S = (BC + AD)/2 · h = (2 + 18)/2 · 30 = 272.
Ответ: 272.
Правильный ответ: 272
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.