Загрузка заданий...
Вариант 607 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} : \frac{1}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) : \frac{1}{2} = \frac{2}{1}\).
Получили дробь 2.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2\).
Ответ: \(2\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел \(\frac{-63}{16}\), -2,5, \(\frac{\sqrt{19}}{2}\), \(\frac{8}{3}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -4 и -3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-63}{16}\) ≈ -3,9375
2) -2,5 ≈ -2,5
3) \(\frac{\sqrt{19}}{2}\) ≈ 2,1794
4) \(\frac{8}{3}\) ≈ 2,6667
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√2 - 3)(√2 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√2)² - 3² = 2 - 9 = -7.
Ответ: -7.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-5}{x + 1} = 1$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -5/(x + 1) = 1
Область допустимых значений: x != -1.
Умножим обе части уравнения на x + 1:
-5 = 1(x + 1)
Раскроем скобки:
-5 = 1x + 1
Перенесём число в левую часть:
-6 = 1x
x = -6 / 1
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -1, условие выполняется.
Ответ: -6
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 40 чашек: 20 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 20 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{20}{40}\) = 0,5.
Ответ: 0,5.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = \dfrac{1}{3}x + 2\)
Б) \(y = -x^2 + 4x - 3\)
В) \(y = \dfrac{1}{x}\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 10 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 1 078 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 1 078/(9,8·10) = 11.
Ответ: 11.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 49 < 0
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Решаем x² - 49 < 0. Нули: x = -7 и x = 7. Верное решение: (-7;7). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 16, d = -5.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 4.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 4·(16 + 1)/2 = 34.
Ответ: 34.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 4 · 11 = \(\frac{44}{2}\) = 22.
Ответ: 22.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 8√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 8√3 · √3 / 3 = \(\frac{24}{3}\) = 8.
Ответ: 8.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов параллелограмма равен 26°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 26° = 154°.
Ответ: 154.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 6 и 9.
Больший катет равен 9.
Ответ: 9.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.
2) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.
3) Неверно: у ромба диагонали не обязаны быть равными.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(23a-29b+30\), если \(\dfrac{7a-6b+6}{6a-7b+6}=5\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(23a-29b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-6b+6 = 5(6a-7b+6)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-6b+6 = 30a-35b+30\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 23a-29b+24\), откуда \(23a-29b = -24\).
Шаг 4. Вычисляем: \(23a-29b+30 = -24+30 = 6\).
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: первым — 180/x ч, вторым — 180/(x−5) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:
180/(x−5) − 180/x = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x−5):
180·x − 180·(x−5) = 3·x·(x−5).
900 = 3·x² − 15·x.
3x² − 15x − 900 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 15² + 4·3·900 = 225 + 10800 = 11025, √D = 105.
x = (15 + 105) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первый — 180/20 = 9 ч, второй — 180/15 = 12 ч.
12 − 9 = 3 = 3. ✓
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 9\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 9.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 9.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 9. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 9.
Проверка: при m = 9 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 9.
Правильный ответ: 9
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 15, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 3 раза меньше AB, то есть AB = 3·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 3 = 15 / 3 = 5.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):
S(△APB) = S(△CPD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 10 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 24, AB = 10, CD = 26, BC = 1.
Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 10 = 11.
S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 11)/2 · 24 = 130.
Ответ: 130.
Правильный ответ: 130
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.