Загрузка заданий...

Вариант 668 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

Разбор: Печь для бани →

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Разбор: Печь для бани →

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Разбор: Печь для бани →

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{4} - 0,005 \cdot \frac{7}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{4} - 0,005 \cdot \frac{7}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,005) \cdot \frac{7}{5} = 0,007$.

Шаг 2: $(\frac{9}{4}) - 0,007 = 2,243$.

Получили результат $2,243$.

Ответ: $2,243$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-29}{9}$

-1,672

2,69

$\sqrt{11}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-29}{9}$ ≈ -3,2222

2) -1,672 ≈ -1,672

3) 2,69 ≈ 2,69

4) $\sqrt{11}$ ≈ 3,3166

Точке A соответствует вариант 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{252} + \sqrt{63})\sqrt{7}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√252 + √63)·√7.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √252 = 6√7, √63 = 3√7.

Тогда получаем (6√7 + 3√7)·√7 = 9√7·√7.

Так как √7·√7 = 7, имеем 9·7 = 63.

Ответ: 63.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 3 + 5(-9x - 1) = 12x - 230

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 3 + 5(-9x - 1) = 12x - 230

Раскроем скобки:

3 + 5(-9x - 1) = 12x - 230

3 - 45x - 5 = 12x - 230

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-45x - 2 = 12x - 230

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-57x = -228

Разделим обе части на -57:

x = -228 / -57

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,1.

Ответ: 0,1

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a > 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 123.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 9, sinα = 0,214, а S = 3,857.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·3,857/(9·0,214) = 4.

Ответ: 4.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 9)(x - 9) ≥ 0

(-∞;-9] ∪ [9;+∞)

(9;+∞)

(-∞;-9]

(-9;9)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -9 и x = 9. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 9 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 9) >= 0 получаем решение (-∞;-9] ∪ [9;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 630, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике два угла равны 86° и 34°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Сумма углов треугольника равна 180°.

Третий угол равен 180° - 86° - 34° = 60°.

Ответ: 60.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 3√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.

Значит, a = 2r√3 = 2 · 3√3 · √3 = 18.

Ответ: 18.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 21°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.

Биссектриса делит угол A пополам.

Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 21° = 42°.

Ответ: 42.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 10 и 5.

Искомое отношение площадей равно (10 / 5)² = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

В параллелограмме есть два равных угла.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x}$, чтобы свести к квадратному уравнению.

Шаг 1. Обозначим $t=\frac{1}{x}$. Тогда $\frac{1}{x^2}=t^2$. Уравнение становится:

$t^2+4t-12=0$.

Шаг 2. Находим корни. Дискриминант: $D=4^2+4\cdot12=16+48=64$, $\sqrt{D}=8$.

$t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=2$: $x=\dfrac{1}{2}$.

Если $t=-6$: $x=-\dfrac{1}{6}$.

Шаг 4. Проверяем ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $-\dfrac{1}{6};\quad \dfrac{1}{2}$.

Правильный ответ: -1/6;1/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 87% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 22% воды, значит сухого вещества 78%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 49 кг сухих фруктов:

49 · 78/100 = 38,22 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 87% воды, значит сухого вещества 13%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,13·x = 38,22.

x = 38,22 / 0,13 = 294 кг.

Ответ: 294.

Правильный ответ: 294

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 2.

Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 30, CD = 40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 20, полухорда = AB/2 = 15.

R² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 20.

d² = R² − 20² = 625 − 400 = 225. d = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 18° и 72°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 3. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 18° + 72° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 15 и 3.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 15 и (b-a)/2 = 3 (или наоборот).

a+b = 30, b-a = 6.

b = 18, a = 12.

Ответ: 12; 18.

Правильный ответ: 12; 18

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.