Загрузка заданий...
Вариант 739 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
| Стоимость (руб.) | 15 000 | 19 500 | 18 000 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
Разбор: Печь для бани →
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
2
Задание 2
1 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Разбор: Печь для бани →
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Разбор: Печь для бани →
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,25 - 0,008$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,25 - 0,008\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,25) - 0,008 = 0,242\).
Ответ: \(0,242\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами 0,8 и \(\sqrt{7}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 0,8 и \(\sqrt{7}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (1,33) лежит между этими числами.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{4} - 4)(\sqrt{4} + 4)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√4 - 4)(√4 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√4)² - 4² = 4 - 16 = -12.
Ответ: -12.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -4x + 4y = 48 \\ -6x - 8y = 30 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-4x + 4y = 48
-6x - 8y = 30
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на -4.
Получим:
\((-4x + 4y = 48) \cdot -6\): 24x - 24y = -288
\((-6x - 8y = 30) \cdot -4\): 24x + 32y = -120
Вычтем второе уравнение из первого:
-56y = -168
y = -168 / -56 = 3
Подставим y = 3 в первое уравнение:
-4x + 4y = 48
Получаем x = -9.
Ответ: (-9;3)
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 70 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 125.
Благоприятных исходов: 55 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 55/125 = 0,44.
Ответ: 0,44.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b > 0
2) k > 0, b > 0
3) k < 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 10-минутной поездки.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t = 10 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(10 − 5) = 205.
Ответ: 205.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
2x - 2 ≥ 4x + 12
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 2x - 2 >= 4x + 12.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x <= 14.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x <= -7.
Значит, x меньше или равно -7.
Этому соответствует промежуток (-∞;-7].
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,4 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.
После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/11, AB = 55. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 55 · \(\frac{4}{11}\) = 20.
Ответ: 20.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 13, CD = 17. Найдите AD.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
То есть AB + CD = BC + AD.
AD = AB + CD - BC = 12 + 17 - 13 = 16.
Ответ: 16.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.
h₁ = 54 / 9 = 6, h₂ = 54 / 18 = 3.
Требуемая высота равна 3.
Ответ: 3.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 7, высота равна 3.
S = 7 · 3 = 21.
Ответ: 21.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x-1}\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+5)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-5\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=1+\frac{1}{t}\):
Если \(t=-5\): \(x-1=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow x=\dfrac{4}{5}\).
Если \(t=2\): \(x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne1\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{4}{5};\quad \dfrac{3}{2}\).
Правильный ответ: 4/5;3/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.
Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость против течения: x − 3. По течению: x + 3.
Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 2 ч больше):
72/(x − 3) − 72/(x + 3) = 2.
Шаг 3. Умножаем на (x−3)(x+3) = x²−9:
72(x+3) − 72(x−3) = 2(x²−9).
Шаг 4. Левая часть: 72·2·3 = 432. Получаем квадратное уравнение:
2x² − 432 − 18 = 0.
Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 15.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{72}{12}\) = 6 ч, \(\frac{72}{18}\) = 4 ч, разность 2 ч. ✓
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{7x-10}{7x^2-10x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=10/7 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=10/7 \), откуда \( k=49/100 \).
Ответ: 49/100.
Правильный ответ: 49/100
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 42 и 144. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(42² + 144²) = √22500 = 150.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 42·144/2 = 3024.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 150·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 150·h/2 = 3024 ⟹ h = 42·144/150 = 40,32.
Ответ: 40,32.
Правильный ответ: 40,32
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
BF : FH = 5 : 4 (дано).
Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.
Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.
В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.
Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:4:
tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.
BF/FH = \(\frac{5}{4}\) ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = \(\frac{5}{4}\).
Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:
sin A = 2·4/(5+4) · ... = BC/(2R).
Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 18/(2·sin A) = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.